Для решения, например, одномерной по пространственным координатам нестационарной задачи используют произведение сеток

представляющее собой пространственно-временную разностную сетку. Совокупность узлов сетки, лежащих на линии , называют -м слоем. Для простых областей, рассмотренных ранее, всегда можно ввести такую сетку, чтобы «крайние» естественные узлы сетки попадали на границу области. Эти узлы называются граничными, а остальные – внутренними. Граничные условия задачи следует задавать именно в этих граничных узлах. Однако для областей более сложной формы, например когда граница двумерной области криволинейна, «крайние» естественные узлы сетки далеко не все попадут на границу области. Тогда следует рассматривать два возможных подхода к заданию граничных условий: 1) ввести дополнительные узлы в точках пересечения линии сетки с границей и в них задать граничные условия; 2) границу области аппроксимировать ломаной, проходящей через ближайшие к границе естественные узлы и перенести каким-то образом заданные граничные условия на эту ломаную.

Вопрос оптимального выбора шага сетки и те самым количества её узлов является не простым. С одной стороны, чем большая требуется точность, с которой необходимо получить решение, тем более мелкий шаг желателен. С другой стороны, слишком мелкий шаг значительно увеличивает число неизвестных, что повышает требования к быстродействию и объёму памяти ЭВМ. Очевидно, должны существовать некоторые «оптимальные» сетки со сравнительно небольшим числом узлов. Такие сетки принято называть грубыми или реальными.

Построение разностной схемы проводится таким образом, чтобы получаемая в результате решения сеточная функция была как можно ближе к решению соответствующей краевой задачи теплопроводности. Так как функция есть функция дискретного аргумента, а функция - непрерывного, то они принадлежат разным функциональным пространствам.

Для определения степени близости этих функций обычно поступают так. Осуществляется переход от непрерывных функций к сеточным по правилу: значение сеточной функции в узле равно значению непрерывной функции в этой же точке. Например, в узле сетки одномерной нестационарной задачи

,

причём пространственные узлы сетки обозначают подстрочными индексами, а временные – надстрочными. В этом случае говорят. Что сеточная функция является проекцией функции на пространство сеточных функций.

Существуют и другие способы проектирования решения на пространство сеточных функций. Например, если функция имеет разрыв первого рода или только интегрируемая по , то полагают

Для оценки близости функции и рассматривается величина , где некоторая норма в пространстве сеточных функций. Нормы в сеточных пространствах вводят так, чтобы при стремлении шага сетки к нулю они переходили в нормы в обычных функциональных пространствах. Наиболее часто используются: сеточный аналог чебышевской нормы в пространстве непрерывных функций

;

сеточный аналог гильбертовой нормы в

,

где в одномерном случае; в двухмерном случае.

Тогда если при бесконечном дроблении сетки величина , то можно говорить о близости решений разностной задачи и краевой задачи .

Построение разностных схем. Порядок аппроксимации.

Решение исходной краевой задачи сводится, таким образом, к нахождению таблицы числовых значений функции в точках сетки на соответствующей области. Для приближённого вычисления этой таблицы необходимо дифференциальный оператор краевой задачи , заданный в классе непрерывного аргумента, приближённо заменить (аппроксимировать) разностным оператором , заданным на множестве сеточных функций. Разностный аналог, аппроксимирующий исходную краевую задачу, можно построить различными способами. Обычно требуют, чтобы построенная разностная схема на сравнительно грубых сетках обеспечивала необходимый уровень точности для получаемого приближённого решения. Поэтому при построении разностных схем важнейшее свойство исходных операторных уравнений должны сохраняться и у их аналогов.

Среди множества возможных конструктивных подходов к построению разностных аналогов для дифференциальных операторов выделим основные: 1) метод формальной замены производных конечно-разностными выражениями; 2) метод интегральных тождеств; 3) вариационные методы построения разностных схем; 4) метод неопределённых коэффициентов. Рассмотрим более подробно первый из вышеперечисленных методов.

Метод конструирования разностных схем с помощью замены производных конечно-разностными выражениями основан на использовании разложения в ряд Тейлора достаточно гладких функций, что, как правило, позволяет сохранить локальные свойства дифференциальных уравнений. Заменим каждую из производных, входящих в краевую задачу, разностным отношением, содержащим значение функции в нескольких узлах сетки, образующих некоторую конфигурацию. Такая совокупность узлов называется шаблоном. Узлы, в которых разностная схема записана на шаблоне, называют регулярными, а остальные узлы – нерегулярными. Рассмотрим возможные способы аппроксимации дифференциального оператора вида