D(k)= (m(k,1) - m(k,2))T S-1n1+n2 (k) (m(k,1) - m(k,2)), (6)

где: m(k,1), m(k,2) k - мерные векторы выборочных средних, вычисленные по k-мерным векторам x1j(k) jÎ1,n1 и x2j(k) jÎ1,n2 первого и второго классов; S-1n1+n2 (k) есть (k´k)- мерная обратная выборочная матрица ковариаций, вычисленная с использованием всего набора k - мерных векторов x1j(k) jÎ1,n1 и x2j(k) jÎ1,n2

На первом шаге процедуры отбора значения функционала D(1) вычисляются для каждого из p признаков. Максимум из этих p значений достигается на каком то из признаков, который таким образом отбирается как первый информативный. На втором шаге значения функционала D(2) вычисляются уже для векторов, состоящих из пар признаков. Первый элемент в каждой паре - это признак, отобранный на предыдущем шаге, второй элемент пары - один их оставшихся признаков. Таким образом получаются p-1 значения функционала D(2). Второй информативный признак отбирается из условия, что на нем достигается максимум функционала D(2). Далее процедура продолжается аналогично, и на k-м шаге процедуры отбора вычисляются значения функционала D(k) по обучающим векторам, состоящим из k признаков. Первые k-1 компонент этих векторов есть информативные признаки, отобранные на предыдущих k-1 шагах, последняя компонента - один из оставшихся признаков. В качестве k-го информативного признака отбирается тот признак, для которого функционал D(k) -максимален.

Описанная процедура ранжирует порядок следования признаков в обучающих векторах так, чтобы обеспечить максимально возможную скорость возрастания расстояния Махаланобиса (6) с ростом номера признака. Для селекции множества наиболее информативных признаков на каждом шаге k=1,2, .,p описанной выше итерационной процедуры ранжирования признаков по информативности сохраняются номер j(k) в исходной таблице признаков и имя выбранного признака, также вычисляется теоретическое значение полной вероятности ошибки классификации P(k) по формуле Колмогорова-Деева [12].

P(k) = (1/2)[1 - Tk(D(k)/s(k)) + Tk(-D(k)/ s(k))],

где k - число используемых признаков

s2(k) = [(t+1)/t][r1+r2+D(k)]; t = [(r1+r2)/r1r2]-1; r1=k/n1; r2=k/n2 (7)

Tk(z) = F(z) + (1/(k-1) ) (a1 - a2H1(z) + a3H2(z) - a4H3(z)) f(z),

F(z) - функция стандартного Гауссовского распределения вероятностей; f(z) - плотность этого распределения; Hi(z) - полином Эрмита степени i, i=1,2,3; aj, j=1, .,4 - некоторые коэффициенты, зависящие от k, n1, n2 и D(k) [12]. Эта формула, как было показано в различных исследованиях, имеет хорошую точность при размерах выборок порядка сотни и rs<0.3, s=1,2.

Функция D(k), получаемая в результате процедуры ранжирования признаков, возрастает с ростом k, однако, на практике ее рост, как правило, существенно замедляется при k® p. В этом случае функция P(k) на каком то шаге k0 между 1 и p имеет минимум. В качестве набора наиболее информативных признаков и принимается совокупность признаков, отобранных на шагах 1, .,k0 описанной выше процедуры. Именно они обеспечивают минимальную полную вероятность ошибочной классификации, которая может быть получена при данных обучающих наблюдениях.

3.3 Процедура статистической идентификации.

В качестве решающего правила используются алгоритмы идентификации, основанные на классических статистических дискриминаторах, таких как линейный и квадратичный дискриминаторы. Данные алгоритмы применяются наиболее часто в виду простоты их использования, удобства обучения применительно к конкретному региону и легкости оценивания вероятности ошибочной идентификации взрывов и землетрясений для каждого конкретного региона Их роль как эффективных правил выбора решения при идентификации особенно возрастает, если применять эти алгоритмы к множествам обучающих и идентифицируемых векторов, составленных из наиболее информативных для данного региона дискриминантных признаков, отобранных в соответствии с описанной выше методикой.

Линейная дискриминантная функция описывается следующей формулой

. (8)

где k - число отобранных наиболее информативных признаков, x(k) - классифицируемый вектор, m(k,1), m(k,2) - k - мерные векторы выборочных средних, вычисленные по k-мерным векторам x1j(k) jÎ1,n1 и x2j(k) jÎ1,n2 1го и 2-го классов, S-1n1+n2 (k) - (k´k)- мерная обратная выборочная матрица ковариаций, вычисленная с использованием всего набора k - мерных векторов x1j(k) jÎ1,n1 и x2j(k) jÎ1,n2. Если LDF > 0, то принимается, что вектор x(k) принадлежит первому классу - (землетрясение); в противоположном случае он принадлежит второму класс (взрыв).

Квадратичная дискриминационная функция описывается следующей формулой

(9)

где , s=1,2 - обратные матрицы ковариаций обучающих выборок 1-го и 2-го классов, вычисленные по обучающим векторам x1j(k) jÎ1,n1 и x2j(k) jÎ1,n2, соответственно.

3.4 Оценка вероятности ошибочной классификации методом скользящего экзамена.

Оценивание вероятности ошибочной идентификации типа событий (землетрясение-взрыв), в каждом конкретном регионе представляет собой одну из основных практических задач мониторинга. Эту задачу приходится решать на основании накопления региональных сейсмограмм событий, о которых доподлинно известно, что они порождены землетрясениями или взрывами. Эти же сейсмограммы представляют собой "обучающие данные" для адаптации решающих правил.

Из теории распознавания образов известно, что наиболее точной и универсальной оценкой вероятности ошибок классификации является оценка, обеспечиваемая процедурой “скользящего экзамена”(“cross-validation”) [11].

В методе скользящего экзамена на каждом шаге один из обучающих векторов xsj , jÎ1,ns, sÎ1,2, исключается из обучающей выборки. Оставшиеся векторы используются для адаптации (обучения) LDF или QDF или любого другого дискриминатора. Исключенный вектор затем классифицируется с помощью дискриминатора, обученного без его участия. Если этот вектор классифицируется неправильно, т.е. относится к классу 2 вместо класса 1 или наоборот, соответствующие “счетчики” n12 или n21 увеличиваются на 1. Исключенный вектор затем возвращается в обучающую выборку, а изымается уже другой вектор xs(j+1). Процедура повторяется для всех nl +n2 обучающих векторов. Вычисляемая в результате величина

p0=(n12 +n21)/( nl +n2 )

является состоятельной оценкой полной вероятности ошибочной классификации. Значения дискриминатора, полученные в результате процедуры скользящего экзамена для обоих классов, ранжируются по амплитуде: ранжированные последовательности удобнее сравнивать с порогом и делать выводы о “физических” причинах ошибочной классификации.