Математическая модель нейрона:

(1)

(2)

где

wi - вес синапса (weight), (i=0,1,2 .p);

w0 - значение смещения (bias);

s - результат суммирования (sum);

xi - компонента входного вектора (входной сигнал), (i=1,2, .p);

y - выходной сигнал нейрона;

p- число входов нейрона;

f - нелинейное преобразование (функция активации).

В общем случае входной сигнал, весовые коэффициенты и значения смещения могут принимать действительные значения. Выход (y) определяется видом функции активации и может быть как действительным, так и целым. Во многих практических задачах входы, веса и смещения могут принимать лишь некоторые фиксированные значения.

Синаптические связи с положительными весами называют возбуждающими, с отрицательными весами - тормозящими.

Таким образом, нейрон полностью описывается своими весами wi и передаточной функцией f(x). Получив набор чисел (вектор) xk в качестве входов, нейрон выдает некоторое число y на выходе.

Эта модель была предложена Маккалоком и Питтсом еще в 1943 г. При этом использовались пороговые передаточные функции (рис. 2a), и правила формирования выходного сигнала y выглядели особенно просто:

(3)

В 1960 г. на основе таких нейронов Розенблатт построил первый в мире автомат для распознавания изображений букв, который был назван “перcептрон” (perception — восприятие). Этот автомат имел очень простую однослойную структуру и мог решать только относительно простые (линейные) задачи. С тех пор были изучены и более сложные системы из нейронов, использующие в качестве передаточных сложные непрерывные функции. Одна из наиболее часто используемых передаточных функций называется сигмоидной (или логистической) (рис. 2б) и задается формулой

(4)

Нейронная сеть.

Нейронная сеть — это набор нейронов, определенным образом связанных между собой. Как правило, передаточные функции всех нейронов в сети фиксированы, а веса являются параметрами сети и могут изменяться.

Одними из наиболее распространенных являются многослойные сети, в которых нейроны объединены в слои. Слой - это совокупность нейронов c единым входным сигналом. В качестве основного примера рассмотрим сеть, которая достаточно проста по структуре и в то же время широко используется для решения прикладных задач — двухслойный персептрон с p входами и одним выходом (рис. 2.3).

Как следует из названия, эта сеть состоит из двух слоев. Собственно нейроны располагаются в первом (скрытом) и во втором (выходном) слое. Входной слой (также его называют нулевым или «вырожденным») только передает входные сигналы ко всем H нейронам первого слоя (здесь H = 4). Каждый нейрон первого слоя имеет p входов, которым приписаны веса wi0,wi1,wi2, ., wip (для нейрона с номером i). Веса wi0 и v0 соответствуют смещению b в описании формального нейрона, которое приведено выше. Получив входные сигналы, нейрон суммирует их с соответствующими весами, затем применяет к этой сумме передаточную функцию и пересылает результат на один из входов нейрона второго («выходного») слоя. В свою очередь, нейрон выходного слоя суммирует полученные от первого слоя сигналы с некоторыми весами vi.

Итак, подавая на входы персептрона любые числа x1, x2, ., xp, мы получим на выходе значение некоторой функции F(x1, x2, ., xp), которое является ответом (реакцией) сети. Очевидно, что ответ сети зависит как от входного сигнала, так и от значений ее весовых коэффициентов.

Выпишем точный вид этой функции

(5)

Кроме многослойных нейронных сетей существуют и другие разновидности, каждая из которых разработаны и применяются для решения конкретных задач. Из них можно выделить

· полносвязные сети, в которых каждый нейрон связан со всеми остальными (на входы каждого нейрона подаются выходные сигналы остальных нейронов);

· сети с обратными связями (рекуррентные). В них определенным образом выходы с последующих слоев нейронов подаются на вход предыдущим.

Разобравшись с тем, из чего состоят нейронные сети, и как они функционируют, перейдем к вопросу "как создать сеть,

адаптированную для решения

поставленной задачи?". Этот вопрос

решается в два этапа: (рис. 1.4)

1. Выбор типа (архитектуры) сети

2. Подбор весов (обучение) сети.

На первом этапе следует выбрать следующее:

· какие нейроны мы хотим использовать (число входов, передаточные функции);

· каким образом следует соединить их между собой;

· что взять в качестве входов и выходов сети.

Эта задача на первый взгляд кажется необозримой, но, к счастью, необязательно придумывать нейросеть "с нуля" - существует несколько десятков различных нейросетевых архитектур, причем эффективность многих из них доказана математически. Наиболее популярные и изученные архитектуры - это многослойный персептрон, нейросеть с общей регрессией, сети Кохонена и другие.

На втором этапе следует "обучить" выбранную сеть, то есть подобрать такие значения ее весов, чтобы сеть работала нужным образом. Необученная сеть подобна ребенку - ее можно научить чему угодно. В используемых на практике нейросетях количество весов может составлять несколько десятков тысяч, поэтому обучение - действительно сложный процесс. Для многих архитектур разработаны специальные алгоритмы обучения, которые позволяют настроить веса сети определенным образом.

Обучение нейросети.

Обучить нейросеть - значит, сообщить ей, чего мы от нее добиваемся. Этот процесс очень похож на обучение ребенка алфавиту. Показав ребенку изображение буквы "А", мы спрашиваем его: "Какая это буква?" Если ответ неверен, мы сообщаем ребенку тот ответ, который мы хотели бы от него получить: "Это буква А". Ребенок запоминает этот пример вместе с верным ответом, то есть в его памяти происходят некоторые изменения в нужном направлении. Мы будем повторять процесс предъявления букв снова и снова до тех пор, когда все 33 буквы будут твердо запомнены. Такой процесс называют "обучение с учителем".

При обучении сети мы действуем совершенно аналогично. Пусть у нас имеется некоторая база данных, содержащая примеры из разных классов, которые необходимо научиться распознавать (набор рукописных изображений букв). Предъявляя изображение буквы "А" на вход сети, мы получаем от нее некоторый ответ, не обязательно верный. Нам известен и верный (желаемый) ответ - в данном случае нам хотелось бы, чтобы на выходе с меткой "А" уровень сигнала был максимален. Обычно в качестве желаемого выхода в задаче классификации берут набор (1,0,0, .), где 1 стоит на выходе с меткой "А", а 0 - на всех остальных выходах. Вычисляя разность между желаемым ответом и реальным ответом сети, мы получаем 33 числа - вектор ошибки. Далее применяя различные алгоритмы по вектору ошибки вычисляем требуемые поправки для весов сети. Одну и ту же букву (а также различные изображения одной и той же буквы) мы можем предъявлять сети много раз. В этом смысле обучение скорее напоминает повторение упражнений в спорте - тренировку.