Динамика твердого тела
Рефераты >> Физика >> Динамика твердого тела

Вычислим, на каком расстоянии $\ell$от точки подвеса стержня находится центр удара. Уравнение моментов относительно оси вращения OO' дает

$ J \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = F \cdot \ell . $

(3.15)

Сил реакции со стороны оси, как предполагается, при ударе не возникает, поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно записать

$ m \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dv_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = F, $

(3.16)

где $m$- масса тела, $v_{0}$- скорость центра масс. Если $а$- расстояние от оси до центра масс тела, то

$ v_{0} = \omega a, $

(3.17)

и в результате из уравнения моментов и уравнения движения центра масс находим

$ \ell = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J}}{\displaystyle {\displaystyle ma}}}. $

(3.18)

При этом точка C (центр удара) совпадает с так называемым центром качания данного физического маятника - точкой, где надо сосредоточить всю массу твердого тела, чтобы полученный математический маятник имел такой же период колебаний, как и данный физический.

В случае сплошного однородного стержня длиной $L$имеем:

$ a = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle L}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}, \quad J = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle mL^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}},\quad и \quad \ell = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}L. $

Замечание. Полученное выражение для $\ell$(3.18) справедливо и для произвольного твердого тела. При этом надо только иметь в виду, что точка подвеса тела А и центр масс О должны лежать на одной вертикали, а ось вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции тела, проходящих через точку А.

Пример 1. При ударах палкой длиной $L$по препятствию рука "не чувствует" удара (не испытывает отдачи) в том случае, если удар приходится в точку, расположенную на расстоянии $L - \ell = L - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}L = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}L$свободного конца палки.

Пример 2. При горизонтальном ударе кием по бильярдному шару (рис. 3.10) шар начинает качение без проскальзывания в том случае, еcли удар нанесен в точку, находящуюся на высоте

$ h = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J}}{\displaystyle {\displaystyle ma}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 7}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}mR^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle mR}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 7}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}R $

от поверхности бильярда, то есть на $h - R = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}R$выше центра шара. Если удар будет нанесен ниже, качение будет сопровождаться скольжением в направлении движении шара. Если удар нанесен выше, то шар в точке касания с бильярдным столом будет проскальзывать назад.

Рис. 3.10.

Рассмотренные примеры формально не относятся к вращению твердого тела вокруг неподвижной оси, однако все приведенные выше соображения о центре удара, очевидно, остаются в силе и в этих случаях.

II. Плоское движение твердого тела.

Напомним, что при плоском движении все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, поэтому достаточно рассмотреть движение одного из сечения тела, например, того, в котором лежит центр масс. При разложении плоского движения на поступательное и вращательное скорость поступательного движения определена неоднозначно - она зависит от выбора оси вращения, однако угловая скорость вращательного движения оказывается одной и той же.

Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс, то уравнениями движения твердого тела будут:

1. Уравнение движения центра масс

$ m{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf v}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf F}_{0} . $

(3.19)

2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс

$ J_{0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{0} . $

(3.20)

Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве и остается перпендикулярной плоскости, в которой движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов (3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид, как и уравнение моментов относительно неподвижной точки.


Страница: