Указание. Задачу следует решать по заранее заго­товленному чертежу.

Перед решением следует повторить и записать на доске формулы:

, P=4a, S=S1+S2 , S2=a2 (S2 - площадь основания пирамиды.)

2)Задачи на исследование.

1. Сколько вершин, ребер и граней имеет n-угольная пирамида?

Ответ: n + 1 вершин. n + 1 граней, 2п ребер.

2. Какое основание может иметь пирамида, у которой все ребра равны?

Решение. Плоские углы при вершине пира­миды равны 60°, так как каждая боковая грань - ­равносторонний треугольник. Следовательно, бо­ковых граней меньше, чем 360°: 60° = 6. т.е. в основании может быть равносторонний треуголь­ник, квадрат или пятиугольник.

3. В каких пределах находится плоский угол α при вершине правильной n-угольной пирамиды. если n = 3, 4, 5, 6?

4. У треугольной пирамиды все боковые ребра равны. Может ли высота такой пирамиды находить­ся на одной из граней?

Ответ: может, если в основании прямоугольный треугольник.

5. Сравните термины: «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Можно ли утверждать, что они определяют одно и то же?

6. Боковые ребра пирамиды равны. Может ли ее основанием быть: а) прямоугольная трапеция, б) ромб?

Ответ: а) не может, поскольку такую тра­пецию нельзя вписать в окружность; б) может только в случае, если осно­вание - квадрат.

7. При каком соотношении в правильной тре­угольной пирамиде между стороной основания а и боковым ребром b ее можно построить?

Ответ:

3)Задачи на доказательство.

1. Докажите, что число плоских углов в n-уголь­ной пирамиде делится на 4.

2. Если в правильной треугольной пирамиде высота Н равна стороне основания а, то боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 60°. Верно ли это утверждение?

Решение. Высота пирамиды проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около основания, α - искомый угол,

tgα == = , α=60°.

3. Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правиль­ная».

Решение. Основание пирамиды - правильный многоугольник. Так как боковые ребра равны, то вершина проектируется в центр основания, следо­вательно, пирамида - правильная.

4. Доказать, что сумма площадей проекций бо­ковых граней пирамиды на основание может быть больше площади основания.

Ответ: может, если высота пирамиды не

проходит через основание пирамиды.

5.. Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, пост­роить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см.

Решение. Половина диагонали квадрата является катетом в прямоугольном треугольнике, этот катет равен , а боковое ребро - гипо­тенуза - равно 7 см. Получается, что катет больше гипотенузы.

6. Доказать, что в правильной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости основания α меньше угла наклона боковой грани к плоскости основания β.

4) Задачи на построение.

1. Постройте два изображения одной пирамиды, одно - имеющее наибольшее число видимых ре­бер, другое - наименьшее число видимых ребер.

Указание. Вид со стороны вершины, все ребра видимые. Вид со стороны основания, видны толь­ко ребра основания.

2. В правильной четырехугольной пирамиде (рис. 4.14) апофема образует с плоскостью основания угол 1. Обозначьте этот угол на рисунке.

3. На рис. 4.15 изображена пирамида РАВС, у кото­рой PHАВС, PK. ВС, TEРВС, Е PBC. Верен ли чертеж?

Решение. По условию PHАВС, PKВС, т.е. по теореме о трех перпендикулярах HKВС, и PHKPBC. Так как, опять же по условию, TEРВС, то отрезок ТЕ либо параллелен плос­кости РНК, либо принадлежит ей. В любом случае чертеж неверен.

4. На рис. 4.16 изображена пирамида КАBCD. Че­рез точку М, МАВК, провести прямую, парал­лельную BD.

Решение. Проведем через прямую BD и дан­ную точку М плоскость. Она пересечет грань АВК по прямой ВЕ (ЕКА), а грань ADK по прямой ED. В построенной плоскости BED проведем через точку М прямую параллельно BD.

5. Постройте точку пересечения прямой МН с плоскостью основания пирамиды SABCD (рис. 4.17).

6. В основании треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны, лежит прямоугольный тре­угольник (рис. 4.18). Постройте высоту пирамиды.

7. Через точку М на плоскости α (рис. 4.19) проведена прямая, которая пересекает грань АКС пирамиды КАВС в точке Н. Какую еще грань пересечет эта прямая?

8. Постройте многогранник, имеющий 11 ребер.

Указание. Четырехугольная пирамида имеет 8 ре­бер, если у нее «срезать» угол при основании, добавит­ся 3 ребра. Всего у многогранника будет 11 ребер. [25], [26], [8], [12], [13]

Заключение

Целью данной работы было рассмотрение особенностей методики изучения темы «Многогранники» в курсе стереометрии 10-11 классов. В связи с чем были выполнены следующие задачи: были рассмотрены различные подходы к определениям многогранника, выпуклого многогранника и правильного многогранника, а также были сделаны выводы о том, какие подходы целесообразнее использовать в школе. Кроме того, были рассмотрены особенности изучения темы в учебниках разной направленности: общеобразовательной, гуманитарной, с математическим уклоном. Были рассмотрены также различные средства наглядности, которые могут быть использованы при изучении данной темы. И, наконец, были подобраны опорные задачи, которые можно использовать на уроке при изучении данной темы.