Решение: Введем прямоугольную систему координат, направив оси по данным диаметрам AB и CD (рис. 13).

Радиус окружности будем считать равным 1. Тогда точки А, В, С, D будут иметь координаты (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1) соответственно. Так как СК:KD=2:1, то точка К имеет координаты (0,). Найдем координаты точки Е как точки пересечения прямой АК, имеющей уравнение и окружности, заданной уравнением . Получаем, что точка Е имеет координаты (). Точка L – это точка пересечения прямых СЕ и оси абсцисс, значит ординаты точки L равна 0.

Найдем абсциссу точки L. Прямая СЕ задана уравнением . Она пересекает ось Ох в точке (,0). Отсюда координаты точки L(,0). Найдем отношение AL:LB. Оно равно трем, что и требовалось доказать.

Задачи

1. Доказать, что если в треугольнике две медианы конгруэнтны, то треугольник равнобедренный.

2. Найти множество таких точек Р, что отношение расстояний от каждой из них до двух данных точек равно а.

3. Докажите, что уравнение окружности с центром в точке С (а,с) и радиусом r имеет вид: (х-а)2+(у-с)2=r2

4. Найти угол между прямыми Зх-4у+6=0 и 12х+5у+8=0

5. Определите расстояние от точки А(-3,4) до прямой у=х+2.

6. Вычислите площадь треугольника, вершины которого имеют следующие координаты: А (0,-2), В(6,2) и С(2,4) .

7. На прямой с даны три точки А, В, С так, что точка В лежит между точками А и С. В одной полуплоскости с границей а построены равносторонние треугольники АМВ и ВРС. Доказать, что середина отрезка РА, середина отрезка МС и точка В являются вершинами равностороннего треугольника.

8. Доказать, что для любой точки Р лежащей между вершинами В и треугольника ABC, справедливо равенство :

АВ2*РС+АС*ВР-АР2*ВС=ВС*ВР*РС.

9. Дан прямоугольник. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки, принадлежащей плоскости этого прямоугольника до его вершин, в два раза больше суммы квадратов расстояний от этой точки до сторон прямоугольника.

10. Доказать, что если через некоторую точку М провести прямую, пересекающую окружность в точках А и В, то произведение МА*МВ постоянно и не зависит от положения прямой.

11. Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, для которых MA2+MC2=MB2+MD2. (ответ: множество точек М есть плоскость)

12. Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, для которых MA+MC=MB+MD. (Ответ: пара прямых)

13. Дан прямоугольный треугольник ABC (ÐC=90°) . Найти множество точек Р, для которых 2РС2=РА2+РВ2. (ответ: множество точек Р есть прямая, содержащая середину М гипотенузы АВ и перпендикулярная к медиане СМ).

2. 4 Опытное преподавание

Опытное преподавание проводилось в 9 классе средней общеобразовательной школы №51. Перед его проведением была изучена математическая и методическая литература и разработана методика проведения факультатива. Было проведено 2 занятия. В данном классе изучение геометрии ведется по учебнику [2], поэтому в качестве основного теоретического и практического источника я выбрала данный методический комплект.

I. Занятия проводились по теме «Простейшие задачи в координатах», до ознакомления с которыми учащиеся изучали тему «Векторы», познакомились с понятием «координаты вектора», а также узнали формулу середины отрезка.

1 занятие: «Простейшие задачи в координатах»

Образовательная цель урока – рассмотреть задачи о вычислении длины вектора по его координатам и по координатам его начала и конца; показать, как они используются при решении других задач.

Содержание урока:

Ø Вначале урока был проведен устный счет для проверки усвоения материала, разобранного на прошлом уроке, а также для проведения пропедевтической работы по повторению тех понятий и фактов, которые будут использованы при объяснении нового материала.

Устный счет:

1. Координаты точек А(-2, 3) и В(2, -4). Найдите координаты векторов и .

2. Координаты точек М(5,-8) и Р(-3, 4). Найдите координаты точки О (О – середина отрезка МР).

3. СР – диагональ окружности; С(-2, -1), Р(5, 7). Найдите координаты центра окружности – точки Е.

4. ABCD – прямоугольник, АD=7, АВ=5. Найдите АС.

Ø Новый материал:

1) Вычисление длины вектора по его координатам.

Вывод формулы опирается на теорему Пифагора и на то, что расстояние между двумя точками оси координат находится по формулам (для точек ; оси х) и (для точек ; оси у). Покажем, что длина вектора равна . Данная формула доказывается только для случая, когда х≠0 и у≠0, в достоверности других случаев учащимся предоставляется убедиться самостоятельно. Для доказательства задаем координатную плоскость и рассматриваем вектор с началом в начале координат (по теореме: от любой точки можно отложить вектор, равный данному и притом единственный). Используя формулу для нахождения координат вектора по координатам его начала и конца, можем найти координаты точки А. Далее с помощью теоремы Пифагора находим длину отрезка ОА=. следовательно, их длины раны, т.о. .

Далее показывается применение данной формулы.

2) Расстояние между двумя точками.

Нахождение данной формулы опирается на использование предыдущей. Пусть имеются точки М1(х1,у1)и М2(х2,у2), необходимо найти расстояние между этими точками. Рассмотрим вектор М1М2. Его координаты равны . Находим длину вектора по его координатам: , а расстояние между М1 и М2 это длина вектора . После выведения данной формулы можно записать формулу и показать, что они эквивалентны.