При решении ряда задач может оказаться полезным метод непрерывных величин. При этом используется следующее положение: если некоторая величина меняется непрерывно в зависимости от некоторой другой величины и при этом при разных значениях второй величины значения первой окажутся больше и меньше некоторого числа С, то это означает, что существует значение второй величины, при котором значение первой равно С. Рассмотрим задачу.

ЗАДАЧА. На плоскости начерчен квадрат и не перекрывающийся с ним треугольник (см. рис.). Существует ли прямая, которая разделила бы одновременно каждую из этих фигур на две равновеликие части.

Заметим, во-первых, что любая прямая, проходящая через центр квадрата, разбивает его на две равновеликие части. При этом справедливо и обратное предложение. Следовательно, задачу можно переформулировать следующим образом: провести через точку О прямую так, чтобы она разбивала треугольник на две равновеликие части. Вначале рассмотрим некоторую прямую l, не пересекающую треугольник.

Затем начнем вращать эту прямую вокруг точки О. Тогда оказывается, что при некотором положении прямой площадь «заметенной» части треугольника меньше , а в какой-то момент, при достаточном угле поворота прямой, эта прямая заметет площадь, большую . Так как величина заметенной площади меняется непрерывно (малому изменению значения угла поворота соответствует малое изменение значения заметенной площади), то найдется такое значение угла поворота прямой, при котором величина «заметенной» части станет равной .

Метод вспомогательных неизвестных - эвристика, используемая как при решении алгебраических задач, так и при решении геометрических задач. Рассматриваемый метод имеет три модификации: когда при замене число переменных или уменьшается, или увеличивается, или остается неизменным. Цепи введения вспомогательных неизвестных при этом различные. Рассмотрим три задачи.

ЗАДАЧА 1 . Доказать, что при любых действительных, отличных от нуля х и у, справедливо неравенство:

, .

, .

И вместо исходного неравенства получаем: или .

Неравенство (*) выполняется для всех U, кроме .

Однако , т.е. . Значит, исходное неравенство выполняется при всех допустимых значениях х и у.

ЗАДАЧА 2. В качестве второго примера, когда при замене число переменных сохраняется, рассмотрим решение уравнения: .

Замена сводит исходное уравнение к достаточно хорошо известной форме: .

В качестве третьего примера рассмотрим стереометрическую задачу.

ЗАДАЧА 3. Около правильной треугольной пирамиды с плоским углом при вершине описана сфера. Найти отношение объема пирамиды к объему шара, ограниченного сферой.

В этой задаче требуется найти отношение величин. Объем выражается через значения каких-то линейных элементов, которые в задаче не заданы. Однако задача имеет решение, т. к. данный угол определяет всю задачную ситуацию с точностью до подобия.

Оказывается, что если какой-нибудь линейный элемент, например, сторону основания пирамиды, взять за неизвестное х, то все остальные линейные величины можно выразить через х и. При нахождении искомого отношения задачи вновь введенная переменная х сократится.

Ограничимся рассмотренными примерами эвристик как наиболее часто встречающихся при решении математических задач. Но не только математических. Методы анализа, переформулирования, рассмотрение частных и предельных случаев используются при решении физических, технических и задач других областей знаний.

Надо ли знакомить учащихся с эвристиками специально? Решающие находят, изобретают эвристики и сами. Но для этого нужны значительные усилия и время. Учителю полезно обратить внимание учащихся на метод, с помощью которого удалось осуществить поиск решения трудной задачи. Это можно сделать после решения задачи с помощью вопросов типа: «Как удалось переформулировать требование (условие) задачи?»; «Какие подзадачи удалось выделить, облегчив решение основной?»; «Как при решении задачи была использована аналогия?» Так постепенно вместе с учителем учащиеся осознают многие из используемых ими приемов, что позволит в дальнейшем сознательно привлекать их к решению других задач. При этом поиск решения становится более эффективным. Владение эвристиками расширяет творческие возможности учащихся.

И еще одно замечание относительно эвристик. Как правило, в чистом виде единичные эвристики при решений задач не применяются. Имеет место использование некоторой совокупности эвристик. Ни одна задача не обходится без методов анализа, переформулирования, выделения известных подзадач.

В методике Р.Г. Хазанкина, известного учителя из Белорецка, обучение эвристикам можно усмотреть в его методике решения «ключевых» задач. Ключевыми он называет задачи раздела, при решении которых раскрываются основные математические идеи, используемые для решения большого класса задач. Уроки решения «ключевых» задач проводятся в форме лекции, после чего учащиеся пытаются использовать рассмотренные идеи при решении других задач раздела.

4. Организация обучения решению математических задач

Фронтальное решение задач. Под фронтальным решением задач обычно понимают решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной.

1) Устное фронтальное решение задач наиболее распространено в IV-VII классах, несколько реже, хотя и находит применение, в старших классах средней школы. Это прежде всего выполняемые устно упражнения в вычислениях или тождественных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. В настоящее время учителя математики IV-VII классов почти на каждом уроке проводят "пятиминутки" устных упражнений. К сожалению, часто этим и ограничивается выполнение устных упражнений. А надо отметить, что одной из задач обучения математике является обучение быстрым устным вычислениям. Решения этой задачи надо добиваться на всех этапах обучения, поэтому там, где это возможно (а не только на "пятиминутках" устного счета), вычисления следует выполнять устно. Если ученики научатся устно выполнять вычисления и несложные преобразования, то на уроках математики, физики, химии освободится значительная часть времени, которое сейчас расходуется на нерациональное выполнение вычислений и выкладок.