5. Системы упражнений и требования к ним

В методике преподавания математики существуют две различные точки зрения на упражнения. Одна из них понятие упражнения рассматривает как синоним понятия задача, и исходя из этого упражнения наделяются различными функциями: мотивационной, организации подготовки к изучению нового материала, усвоения, закрепления и повторения изученного.

Чтобы специально выделить этапы закрепления и применения знаний, выяснить особенности организации деятельности учащихся на этих этапах, рассмотрим упражнения в их традиционном смысле - как многократное выполнение сходных действий с целью овладения умениями и навыками. С точки зрения теории деятельности упражнение - это та задача, для решения которой имеется ориентировочная основа. Упражнение предназначено для усвоения способа действия, отдельных операций действия, доведения действий до свернутой формы - до операции. При таком понимании упражнение - частный случай задачи, используемый при закреплении и применении.

В школьном курсе математики закреплению подлежат определения понятий, теоремы, правила, предписания по выполнению определенных действий.

При закреплении определений необходимо предусмотреть упражнения на выделение существенных свойств понятий, на их запоминание, на установление взаимосвязей между существенными свойствами, на усвоение терминологии, на установление объема понятия, на узнавание понятия, на выделение «зоны поиска» понятия, на получение следствий из имеющихся свойств понятий, раскрытие взаимосвязей с другими понятиями.

При закреплении теорем упражнения способствуют анализу формулировки и ее усвоению, запоминанию, узнаванию, уяснению области применения теоремы, получению следствии из теорем, установлению взаимосвязей с различными теоремами.

При закреплении правил, предписаний отрабатываются отдельные шаги и действие целиком, выясняется область их применения, особые случаи их использования.

Умения и навыки создаются в процессе выполнения упражнений, но не всякая их система приводит к формированию соответствующих умений и навыков.

Вопрос о системах упражнений является объектом внимания методистов, психологов, учителей. Однако он еще не стал традиционным вопросом методики преподавания математики, таким, например, как методика решения задач, изучения понятий. Есть необходимость в специальном рассмотрении вопроса в силу следующего важного обстоятельства.

В ряде школьных учебных пособий системы упражнений страдают различными недостатками, очень часто учителю самому приходится отбирать упражнения из имеющейся системы. Учитель является главным лицом, предъявляющим систему упражнений. «Там, где начинается чуть-чуть, - заметил И.Е. Репин,- начинается искусство». Чтобы владеть этим «чуть-чуть», необходимо знать определенные закономерности. Укажем отдельные закономерности, которых полезно придерживаться при отборе и составлении системы упражнений и при их выполнении.

Принципы отбора и составления систем упражнений

Рассмотрим вначале реализацию при отборе и составлении системы упражнений одного из основных педагогических принципов - принципа систематичности. Анализируя процесс познания, исходя из этого принципа, можно выделить следующие этапы при изучении нового материала (понятий, теорем, правил): изучение понятия, теоремы, правила как отдельно взятого факта, изолированного от ранее изученного материала, как факта самого по себе; установление связей между вновь изученным фактом и ранее изученным материалом, включение нового в различные системы изученного; систематизация накопленного материала с учетом вновь изученного факта.

Соответственно этим этапам все упражнения можно разделить на три вида: упражнения на изучение отдельных фактов изолированно от ранее изученного; упражнения, связывающий новый факт с ранее изученным, позволяющие рассматривать новый факт как элемент других систем и, наконец, упражнения на систематизацию изученного материала. Остановимся кратко на каждом виде упражнений.

Когда можно считать понятие, теорему, правило усвоенными учеником? Это возможно, если ученик понимает каждое слово в формулировке, запоминает формулировку, узнает и применяет их в стандартных и нестандартных ситуациях, когда факт встроен в имеющуюся систему знаний и умений.

Первый вид упражнений обеспечивает понимание и запоминание, а также узнавание и применение понятия, теоремы, правила в простейших случаях. Первый вид упражнений способствует рассмотрению объекта вне содержащей его системы. При этом объект подвергается всестороннему анализу. Эти упражнения не несут нагрузки в плане создания системы знаний. Упражнения этого вида, как правило, не требуют привлечения дополнительных сведений, кроме изученного факта. При отборе и составлении упражнений на этом этапе необходим детальный анализ формулировки определений, теорем, правил. Каждая составная их часть, каждое существенное свойство и отношения между ними находят свое отражение в упражнениях этого вида. Упражнения первого вида включают в себя отработку всех существенных сторон понятий, теорем, правил.

Например, при изучении понятия гомотетии упражнения первого вида могут выглядеть следующим образом:

1. Укажите, что означает тот факт, что гомотетия является преобразованием фигуры.

2. Обоснуйте, почему в равенстве .

3. Укажите порядок действий при построении точки, гомотетичной данной, с центром гомотетии 0 и коэффициентом к.

4. Постройте точки, в которые переходит данная точка при гомотетии с центром 0 и коэффициентом: а) 2; 6) 5; в) ; г) 1.

5. Укажите положение точки А, если известен центр и коэффициент гомотетии и точка , в которую перешла точка А.

6. Найдите коэффициент гомотетии, если известно положение трех точек О, X, , где О - центр гомотетии, X - данная точка, - ей гомотетичная.

Второй вид упражнений предполагает связывание вновь изученного материала с ранее изученным. Происходит многократное взаимодействие различных систем знаний, развитие старых знаний под воздействием новых.

Одновременно этот вид упражнений является препятствием на пути забывания старого, что происходит достаточно интенсивно, это подтверждает график забывания информации

Отдельные авторы считают, что выходом из такого положения является включение упражнений на повторение, сходных по некоторым несущественным признакам с упражнениями на закрепление нового материала, но в существенной части отличных от них.

Например, при решении упражнений на умножение смешанных чисел одновременно выполняются упражнения на сложение смешанных чисел. Такие упражнения одновременно выполняют функцию контрпримеров при изучении нового, что позволяет концентрировать внимание решающих на существенном и формировать устойчивые умения.