Такой подход важен, но не менее важно целенаправленное непрерывное повторение, непосредственно связываемое с изучением нового. Оно актуально также вследствие дефицита времени на организацию специального повторения. Непрерывное повторение позволит организовать рассредоточенное повторение материала, которое, является более эффективным, чем концентрированное. При необходимости любое содержание из изученного ранее может быть повторено при решении задач на применение вновь изученного материала.

Например, в действующих пособиях по планиметрии изучается богатая по своему применению теорема о вписанном угле. Применение этой теоремы может быть значительно расширено за счет установления взаимосвязей названной теоремы с такими разделами, как, например, координаты, векторы и т. д. Приведем примеры таких задач.

ЗАДАЧА 1. Даны три точки А(1;1), В(4;I), С(4;5). Доказать, что центр описанной около треугольника АВС окружности лежит на одной из его сторон.

ЗАДАЧА 2. Найти углы, образованные радиусами АО, ВО и ОС окружности, описанной около треугольника АВС, если А (0;3), В (2;3), С и т. д.

Аналогично можно связать с системой ранее изученного любое вновь изучаемое содержание.

Третий вид упражнений упражнения на систематизацию материала, полученного при выполнении упражнений первого и второго видов. Это могут быть упражнения на классификацию понятий, на установление генетических взаимосвязей между понятиями.

Например, установить зависимость между понятиями «подобие», «движение», «преобразование фигуры» (провести стрелки от более общего понятия к менее общему).

Составление генеалогических деревьев для понятия предполагает связывание в систему нескольких понятий раздела. Например, для понятия «угол» родословная таблица может выглядеть следующим образом:

Упражнениями третьего вида могут быть упражнения: на установление взаимосвязей между теоремами, например, указать взаимосвязь между теоремами Пифагора и косинусов; на построение родословных теорем, выделение свойств и признаков понятия, на группировку задач, теорем по методам их решения, доказательства.

Возможна систематизация материала по различным основаниям: выделение всех известных свойств некоторого понятия, всех полученных признаков, различных инвариантов преобразований, выделение сходного и различного в определениях, теоремах, методах решения, проведение сравнения и обобщения. Например:

- выделить все известные свойства подобных треугольников:

- сформулировать все признаки подобных треугольников;

- перечислить преобразования фигур, которые сохраняют неподвижной хотя бы одну точку;

- указать различие в положении соответствующих при гомотетии точек, если к > I, к = I и к < I;

- выделить общие свойства равностороннего треугольника и квадрата;

- сравнить свойства равных и подобных треугольников;

- сравнить признаки равных и подобных треугольников;

- привести примеры понятий, в определении которых используется понятие равных отрезков;

- привести возможные различные определения понятия квадрат и т. д.

Систематизации знаний, их гибкости способствует выполнение упражнений, направленных на выявление возможных различий в чем-то сходных ситуаций, требующих использования различных теоретических сведений. Пример такого упражнения: покажите, как следует провести плоскость сечения, чтобы в сечении куба этой плоскостью получить: 1) квадрат; 2) прямоугольник; 3) трапецию; 4) четырехугольник, не имеющий параллельных сторон; 5) равносторонний треугольник; 6) равнобедренный треугольник; 7) разносторонний треугольник; 8) прямоугольный треугольник.

Уровни систематизации материала при этом могут быть различными: локальная систематизация на уровне двух фактов, систематизация внутри одной темы, внутри нескольких тем, внутри всего предмета, между предметами.

Формы систематизации (уроки по обобщению и систематизации материала) описаны в методической литературе.

При отборе и выполнении системы упражнений важно соблюдение принципа последовательности. Этот принцип лежит в основе составления программ, написания учебников. При составлении и подборе систем упражнений он проявляется в том, что упражнения располагаются в порядке возрастания сложности: от менее сложного к более сложному, от менее трудного к более трудному, от более известного к менее известному. При этом в предлагаемых упражнениях производится вариация несущественного. Выделим, например, что может и должно варьироваться при изучении формулы разности квадратов двух выражений: это и обозначения переменных и наличие различных коэффициентов в выражениях, состав каждого выражения, порядок написания компонента вычитания и т. д. При этом следует придерживаться традиционной рекомендации: при переходе от одного упражнения к другому добавлять шаги решения следует постепенно, по одному. «По одной трудности за раз», как говорил К.Д. Ушинский. Это необходимо для того, чтобы при выполнении упражнений не требовалось существенных обобщений, значительных скачков мысли, на которые способны далеко не все учащиеся. Система упражнений по упомянутому правилу может быть следующей: а); б) х2 - у2; в) х4 - у2; г); д); е); ж) ; з) .

Перечисленные упражнения - это лишь представители видов, сама система содержит несколько упражнений каждого вида. При этом следует иметь в виду, что умение выполнить действие в стандартной ситуации не обеспечивает овладение этим действием в особенных случаях. Другими словами, без наличия упражнений на различные варианты широкого переноса нельзя обеспечить обобщенного умения учащихся. Ученику, не встречавшемуся с различными вариациями упражнений, приходится совершать акт творчества, на которое способен не каждый ученик.

Какие особые случаи могут иметь место при рассмотрении формулы разности квадратов двух выражений? Это применение формулы, когда одно из выражений или даже оба равны некоторому числу, в частности единице, когда слагаемое с минусом стоит на первом месте, когда одно или оба выражения являются двучленами или многочленами.

Значит, имеющийся набор упражнений следует дополнить упражнениями следующего вида:

100-с2; ; 812-92; ; и т. д.

Далее рассмотрим реализацию педагогического принципа прочности знаний при составлении систем упражнений. Принцип проявляется в наличии однотипных упражнений. По данным ряда психологов, чтобы у учащихся произошло самостоятельное обобщение, в некоторых случаях необходимо более ста однотипных упражнений. У сильных учащихся такое обобщение может происходить «с места», после решения единственного упражнения.