Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, P и Q – внутренние точки граней соответственно ABCD и A1B1C1D1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки P и Q и параллельной прямой СС1 (рис. 34).

Решение: Проведем прямые PР1 и QQ1, параллельные СС1. Они задают плоскость, параллельную СС1 и проходящую через точки P и Q.

2.13. Дан куб ABCDA1B1C1D1; точка Р – середина ребра АА1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р и D1 параллельно диагонали АС грани ABCD куба (рис. 35). Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 10.

Решение: АС1 || (РВ1D1) (в этом можно убедиться, применив свойство диагоналей в параллелограмме A1B1C1D1 и теорему Фалеса к треугольнику АА1С1). По теореме Пифагора: . По формуле Герона: .

2.14. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости (рис. 36).

Решение: Пусть прямые а и b скрещиваются. Выберем на прямой а произвольно точку А и проведем прямую с, параллельную b (через точку, не лежащую на данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной). Прямые а и с задают плоскость β. По признаку параллельности прямой и плоскости: b || β. Аналогично, проведем прямую d в плоскости α.

α || β (если две пересекающиеся прямые плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны).

3.06. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α, которая проходит через внутреннюю точку М основания ABCDE параллельно грани РAB (рис. 37).

Рис. 37

Решение: Так как прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны, а плоскость α параллельна грани РАВ, то: а) прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания пирамиды должна быть параллельна АВ; б) прямая пересечения α с плоскостью грани РВС – параллельна АР; в) прямая пересечения α с плоскостью РАD – параллельна РА, поэтому проводим: 1) через точку М прямую KF || AB; 2) FH || PA; 3) KR || PB; 4) ML || AP. Пятиугольник HLRKF – искомое сечение. В доказательстве используется признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей.

3.07. Точки А, В и С лежат в плоскости α и не лежат на одной прямой. Равные и параллельные отрезки АА1, ВВ1 и СС1 расположены по одну сторону от плоскости α. Докажите, что (А1В1С1) || (АВС) (рис. 38).

Решение: ВВ1С1С – параллелограмм (из параллельности и равенства ВВ1 и СС1), следовательно ВС || В1С1. АВ || А1В1 (аналогично). По теореме о параллельности плоскостей (по двум пересекающимся прямым): (А1В1С1) || (АВС).

3.08. Точка В не лежит в плоскости ΔAEC, точки М, К и Р – середины отрезков соответственно АВ, ВС и ВЕ (рис.39). а) Докажите, что плоскости МКР и АЕС параллельны. б) Найдите площадь ΔМКР, если площадь ΔAEC равна 48 см2.

Решение: а)Заметим, что ΔAEC и не лежащая в нем точка В образуют тетраэдр ВАСЕ. МК || АС (МК – средняя линия ΔAВC). КР || СЕ (КР – средняя линия ΔВCЕ). По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (МКР)||(АСЕ).

б) По формуле Герона:

, как средние линии соответствующих треугольников. Подставим данные значения в формулу: . Отсюда .

3.09. Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны (рис. 40).

Решение: Каждые две пересекающиеся прямые задают плоскость (через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну). Так как точка пересечения делит прямые пополам, то по теореме Фалеса: А1В1 || В2А2. Аналогично доказывается параллельность С1В1 и С2В2, А1В1 и А2В2. По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (А1В1С1)||(А2В2С2).

3.10. Прямая DF пересекает параллельные плоскости α, β и γ соответственно в точках D, Е и F, при этом DF = 3, ЕF = 9 (рис. 41). Прямая EG пересекает плоскости α и γ соответственно в точках G и Н, при этом EG = 12. Найдите длину GН.

Решение: Прямые EF и ЕH задают плоскость EFH, которая пересекает плоскости α и γ по прямым GD и FH соответственно. ∆GED ~∆HEF (так как GD || FH, ). По свойству преобразования подобия: . Тогда .

3.11. Плоскости α и β пересекаются по прямой с (рис. 42). Через точки А и В, расположенные вне этих плоскостей, проводятся параллельно плоскости β и параллельные между собой прямые АС и BD (), а также – параллельно плоскости α и параллельные между собой прямые АЕ и BF (). Докажите: а) плоскости АСЕ и BDF параллельны; б) плоскости АСЕ и BDF пересекают плоскости α и β по параллельным прямым.

Решение: а) GА || DB, АЕ || FВ по условию. По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (АСЕ) || (DBF).

б) BF и АЕ задают плоскость, параллельную плоскости α. По свойству параллельных плоскостей: EF || с. Аналогично CD || c. По признаку параллельности прямых: CD || EF.

5.3. Уроки проверки знаний, умений и навыков

Для проверки знаний, умений и навыков разработаны три задачи на выявление типов оперирования пространственными образами: изменение пространственного положения образа (I тип); преобразование структуры образа (II тип); изменение положения и структуры образа одновременно (III тип).