Решение: Используется: способ задания плоскости через параллельные прямые (попарное рассмотрение заданных параллельных прямых); определение параллелограмма (достаточно равенства и параллельности одной пары противолежащих сторон (по условию)); условие равенства треугольников по трем сторонам.

1.07. Прямая АВ пересекает плоскость α. Через концы отрезка АВ и его середину С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках А1, В1 и С1. Рассмотрите случаи: 1) отрезок АВ не пересекает плоскость α (рис. 27а); 2) отрезок АВ пересекает α (рис. 27б). В каждом случае найдите: а) длину отрезка СС1, если: АА1 = 7, ВВ1 = 5; б) длину отрезка АА1, если ВВ1 = 7, СС1= 11.

Решение: а) Точки А, В и С лежат на одной прямой (из пересечения параллельных прямых с прямой АВ и плоскостью α). В1С1 = С1А1 (по теореме Фалеса). СС1 – средняя линия трапеции АА1ВВ1.

1.

2.

б) Сделаем выносной рисунок пересечения АВ и А1В1 и проведем через точку В прямую, параллельную прямой А1В1 (рис. 27в).

A1L = 5 (т.к. BL ‌|| A1B1)

CL1 – средняя линия в ∆АLВ

1.

2.

1.08. Через вершины А, В, С и D параллелограмма ABCD, расположенного в одном полупространстве относительно плоскости α, точку О пересечения его диагоналей и центроид М треугольника BCD проведены параллельные прямые, которые пересекают данную плоскость α соответственно в точках А1, В1, С1, D1, О1, М1. Найдите ММ1, ОО1 и DD1, если АА1 = 17, СС1 = 5, ВВ1 = 15 (рис. 28).

Решение: В задаче используется выделение фигуры из состава чертежа, чертеж рассматривается с разных точек.

АСС1А1 – трапеция (параллельные прямые АА1 и ВВ1 задают плоскость). ОО1 – средняя линия трапеции: .

BDD1B1 – трапеция: .

ОСС1О1 – трапеция.

ОМ = ОС (свойство пересечения медиан треугольника), О1М1 = О1С1 (аналогично). Следовательно, .

1.09. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (рис. 29).

Решение: ML || DB, NK || DB (как средние линии треугольников ADB и CDB соответственно), ML = NK. NMLK – параллелограмм (параллельные прямые задают плоскость). Из свойства диагоналей треугольника следует, что отрезки, соединяющие середины противолежащих ребер тетраэдра пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Доказательства для ОР аналогично.

2.08. В правильном тетраэдре DABC, все ребра которого равны 6, точка К лежит на ребре BD так, что DК = 2; точка М лежит на ребре ВС так, что ВМ = 4; точка Р – середина ребра АВ. а) Докажите, что КМ параллельна плоскости ADC. б) Докажите, что РМ не параллельна плоскости ADC. в) Проведите через точку Р прямую, параллельную плоскости ADC и пересекающую ребро DB в точке L. Найдите длину LK. г) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки Р и К параллельно АС (рис.30).

Решение: а) По теореме Фалеса: DC ||КМ. По признаку параллельности прямой и плоскости: (АDC) ||КМ.

б) РМ не параллельна АС (СМ≠АР), следовательно, они пересекаются, так как лежат в одной плоскости. Тогда, РМ не параллельна плоскости ADC.

в) По теореме Фалеса: DL = 3. Тогда, LK = 1.

г) (PKS) – искомое сечение, где PS – средняя линия треугольника АВС.

2.09. Основанием правильной четырехугольной пирамиды PABCD является параллелограмм ABCD. Постройте ее сечение плоскостью, проходящей через АВ и точку К, лежащую в грани: а) ВСР (рис. 31а); б) DCP (рис. 31б). Какая фигура получается в сечении?

В обоих случаях – равнобокая трапеция.

2.10. Даны три попарно скрещивающиеся прямые а, b и с. Всегда ли существует плоскость: а) параллельная каждой из этих прямых (рис. 32а); б) пересекающая каждую из них (рис. 32б)? Ответ обоснуйте и выполните соответствующий рисунок.

Решение: а) Плоскость, параллельная каждой из скрещивающихся прямых существует, если данные прямые лежат в параллельных плоскостях.

б) Плоскость, пересекающая каждую из скрещивающихся прямых, существует, если существует прямая, принадлежащая этой плоскости, которая пересекает каждую из данных прямых.

2.11. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Пусть Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Р6, Р7, Р8 – середины ребер соответственно АВ, ВВ1, В1А1, А1А, CD, СС1, С1D1, DD1. Каково взаимное положение таких прямых и плоскостей, как: а) Р3Р4 и Р1Р2Р6 (рис. 33а); б) Р7Р8 и Р1Р2Р6 (рис. 33б); в) Р4Р7 и Р1Р2Р5 (рис. 33в); г) Р1Р6 и АВ1D (рис. 33г); д) АС и Р3Р4Р5 (рис. 33д); е) BD и Р3Р4Р5 (рис. 33е)?

Решение: а) Р3Р4 || (Р1Р2Р6) (признак параллельности прямой и плоскости);

б) Р7Р8 || (Р1Р2Р6) (признак параллельности прямой и плоскости);

в) Р4Р7 (Р1Р2Р5) (при параллельном проектировании Р4Р7 на вектор прямая пересечет плоскость Р1Р2Р5);

г) Р1Р6 || (АВ1D) (дополним плоскость АВ1D до плоскости АВ1С1D; при параллельном проектировании Р1Р6 на вектор прямая будет лежать в плоскости АВ1С1D, следовательно, в этой плоскости существует прямая, параллельная Р1Р6);

д) АС || (Р3Р4Р5) (дополним плоскость Р3Р4Р5 до Р3Р4Р6Р5; при параллельном проектировании АС на вектор прямая перейдет в диагональ параллелограмма Р3Р4Р6Р5, следовательно, в этой плоскости существует прямая, параллельная АС);

е) BD Р3Р4Р5 (при параллельном проектировании BD на вектор прямая пересечет плоскость Р3Р4Р5).