Задача 1. В первой цистерне 11О т нефти. Во второй цистерне нефти больше, чем в первой, в 4 раза. Сколько нефти в двух цистернах вместе?

Задача 2. В первой корзине было в 4 раза больше слив, чем во второй. Сколько килограммов слив было вместе в двух корзинах, если во второй было 12 кг?

Во второй задаче при изменении сюжета взаимосвязь между данными (в 4раза больше) осталась прежней. Однако здесь видны два изменения: во-первых, поменялись местами известное количество и неизвестное (стало известно количество слив во второй корзине, а не в первой); во-вторых — отношение в 4 раза больше поставлено на первое место, а известное количество слив во второй корзине встроено в вопрос задачи, что потребует от ученика умения вычленить это данное из вопроса задачи, т.е. провести анализ, а не решить задачу по образцу.

Требование 3. Изменяя сюжет задачи, необходимо фиксировать связи между величинами не только в явной, но и в косвенной форме.

Приведем примеры.

Задача 1. В первой коробке 27 карандашей. Сколько карандашей в трех коробках вместе, если во второй коробке в 3 раза меньше карандашей, чем в первой, а в третьей коробке на 17 карандашей больше, чем во второй коробке?

Задача 2. В первом ящике 57 кг яблок, во втором ящике в 3 раза меньше, чем в первом и на 17 кг меньше, чем в третьем ящике. Сколько килограммов яблок вместе в трех ящиках?

Требование 4. Меняя числовые данные в задаче, некоторые из них можно записывать в словесной форме. Так, вместо «в 3 раза», можно записать «в три раза». Это приучает учащихся осмысливать текст задачи, а не пользоваться чисто внешними проявлениями и соотносить между собой только данные, записанные цифрами.

Требование 5. Переводить задачи из конкретного плана в абстрактные значения (заменять числовые величины буквенными). Эта форма работы важна, особенно в IV-V классах, так как она приучает учащихся самостоятельно «переводить» на язык математических терминов различные соотношения, записанные в конкретной жизненной форме. Приведем пример.

Задача 1. Купили 10 тетрадей по 7 р. и 8 карандашей по 4 р. Сколько стоит вся покупка?

Задача 2. Цена тетради а копеек, а карандаша b копеек. Сколько надо заплатить за х тетрадей и у карандашей?

Здесь обобщение рассматривается как переход от конкретного плана к абстрактному плану.

Требование 6. Перевод задачи из абстрактного плана в конкретный план. Например, дана задача: «Сумма двух чисел равна а, одно число больше другого на b. Найти эти числа». Конкретизируем задачу, придумав в ходе коллективной деятельности сюжет: «У Васи и Коли вместе 20 орехов, причем у Васи больше, чем у Коли, на 4 ореха. Сколько орехов у каждого мальчика?»

Выполняя описанные выше требования конструирования задач с 16 помощью первого приема варьирования, педагог активизирует процесс мышления учащихся (за счет продуманного преобразования структуры задачи), а не только формирует репродуктивную деятельность, в ходе которой, как известно, перегружается память, что приводит к повышенной утомляемости и утрате интереса к обучению [4].

Первый прием варьирования используется учителем в основном как механизм построения текстовых задач. В меньшей степени он подходит для организации преобразующей деятельности учащихся на уроке, которую целесообразно развивать при конструировании задач с помощью остальных приемов варьирования. Рассмотрим использование второго и шестого приемов варьирования для конструирования цепочки взаимосвязанных задач по теме «Периметр и площадь прямоугольника».

Технология составления упражнений с недостающими данными проста: из обычной учебной текстовой задачи учитель убирает одно данное. Далее работа с задачей на уроке может быть построена разными способами.

Способ 1: доопределить условие задачи, используя субъектный опыт учащихся и ранее приобретенные знания.

Способ 2: доопределить условие задачи, используя таблицы, графики, диаграммы.

Способ 3: оставить задачу с неполным условием и получить исследовательскую задачу, так как она будет иметь неоднозначное решение [3].

Рассмотрим работу с такой задачей третьим способом. Предварим составление задачи с неполными данными составлением трех задач с использованием второго приема варьирования.

Задача 1 (базовая, первый уровень осознанности). Длина прямоугольника равна 9 см, а его ширина на 6 см меньше длины. Найти периметр и площадь данного прямоугольника. Составь краткую запись (схему) задачи, запиши решение по действиям.

Задача 3 (третий уровень осознанности). По равенству Р = (5 + (5 + 2) • 2 составь задачу с похожим сюжетом. Выполни краткую запись задачи, запиши ее решение по действиям, составь равенство для нахождения периметра прямоугольника, сравни полученное равенство с данным. На равенство в какой задаче похоже данное равенство? Чем отличается равенство задачи 3 от равенства задачи 1 ? Как изменится текст задачи 3 по сравнению с задачей 1?

При составлении задачи по равенству внимание учащихся направлено на анализ зависимостей между величинами, определяемых данным выражением. Это, в свою очередь, оказывает положительное влияние и на те случаи, когда впоследствии учащиеся самостоятельно будут решать готовые задачи, так как они осознанно вникли в структуру задачи, разложив на составные части данное выражение и восстановив взаимосвязи между сторонами прямоугольника. Использование второго приема варьирования при составлении данной цепочки задач позволяет школьникам проводить постепенное сокращение промежуточных звеньев рассуждений при решении последующих задач.

– Чем похожи задачи 1, 2 и 3? (Одинаковый периметр.) Какая площадь у этих прямоугольников? (Разная.) Сколько существует прямоугольников с периметром 24 см?

Таким образом, в ходе беседы получена задача 4 с неполным условием: «Периметр прямоугольника 24 см. Найти его площадь».

– Сколько решений этой задачи уже получено? Выпишем их.

Если при решении данной задачи возникают затруднения, то учитель может задать наводящий вопрос: «Чему равна сумма длины и ширины?» На доске и в тетрадях учащихся появляются записи.

школьник умение математический текстовый задача

Р=(9 + 3) • 2, S = 27.

Р=(8 + 4) • 2, S=32.

Р=(7 + 5) • 2, S=35.

Р=(11 + 1) • 2, S=11.

Р=(10 + 2) • 2, S=20.

Р=(6 + 6) • 2, S=36.

Ответ: задача имеет 6 решений.

Осуществляя перебор возможных вариантов, учащиеся проводят элементы исследовательской деятельности и отвечают на вопросы: «У какого прямоугольника самая большая площадь? Как его можно назвать по-другому?» В старших классах мы докажем, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Используя данный факт, можно решить практическую задачу 5: «Для ограждения дачного участка купили 92 м сетки. Какой формы участок выгоднее обнести этой сеткой? Чему равна площадь такого участка?»

Если задачу 4 дать без предварительно решенной цепочки из трех задач, то это будет исследовательская задача. Решение трех предварительных задач позволило включить в исследовательскую деятельность всех учащихся класса, так как эти три задачи играли роль подзадач, а исследовательская задача возникла естественным путем на заключительном этапе их решения. Таким образом, при конструировании такой цепочки задач возможно формирование осознанных знаний всех рассмотренных трех уровней.