М.6. Отсутствуют какие – либо технические препятствия в реализации оптимальных инвестиционных стратегий; относительно любого актива возможна операция «короткая продажа»; налоги и издержки, связанные с покупкой и продажей активов, не принимаются во внимание.

При выполнении свойства М.6 рынок часто называется полным рынком (complete market)[14].

Предположения М.1 – М.3 выражают предпочтения инвесторов в рамках подхода «доходность – риск». Предположение М.4 говорит о том, что рассматривается однопериодная задача оптимизации. Предположения М.5 – М.6 носят технический характер и вводятся для упрощения аналитического решения задачи.

3) Постановка задачи оптимизации структуры портфеля.

Пусть инвестор формирует свой портфель сроком на один период владения из N (N>1) различных рисковых ценных бумаг. Прогнозные значения вектора ожидаемых доходностей активов и ковариационной матрицы доходностей активов для рассматриваемого периода равны и . Будем полагать, что т.е. ковариационная матрица является невырожденной (положительно определенной как ковариационная матрица). Приемлемая для инвестора доходность портфеля ценных бумаг равна .

Задача заключается в определении такой структуры портфеля которая обеспечила бы достижение заданной доходности портфеля с минимальным риском. Математическая формулировка данной задачи имеет вид:

, (34)

, (35)

(36)

Соотношения (35)—(36) представляют собой формализованное описание задачи определения оптимального в смысле подхода "доходность — риск" портфеля рисковых ценных бумаг, которая известна как задача Марковица[15].

Вектор X*, являющийся решением задачи Марковица, определяет структуру оптимального в смысле подхода "доходность — риск" портфеля среди всех возможных портфелей с ожидаемой доходностью . Заметим, что в рассматриваемом случае компоненты вектора =() могут принимать отрицательные значения, что означает рекомендацию инвестору совершить относительно соответствующих активов операцию "короткая продажа".

Множество возможных или достижимых портфелей (feasible set) в данном случае - это множество всех портфелей, которые можно образовать из N рассматриваемых ценных бумаг при возможности использования операции "короткая продажа ".

Решение задачи оптимизации структуры портфеля

В математическом плане задача (34)—(36) - это задача минимизации непрерывной функции с двумя ограничениями в виде равенств и поэтому может быть решена аналитически с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа.

Опишем кратко схему решения задачи. Функционал Лагранжа с учетом (34)—(36) имеет вид:

(37)

где - неопределенные множители Лагранжа.

Дифференцируя по X и приравнивая к нулю вектор производных, получаем:

откуда с учетом невырожденности матрицы следует:

Х= (38)

Подставляя (38) в (35), (36), получаем представления для . Используя эти представления в (38), находим решение задачи в виде:

, (39)

где Ь, с - векторы размерности N, имеющие вид:

(40)

(41)

и использованы обозначения:

При невозможности операции "короткая продажа" необходимо наложить дополнительное ограничение на структуру портфеля вида:

. (42)

Получаемая при этом задача оптимизации структуры портфеля (34)—(36), (42) относится к задачам квадратичного программирования, для решения которой используются приближенные численные методы[16].

Портфель ценных бумаг со структурой, определяемой по формуле (39), будем называть оптимальным по Марковицу.

Оптимальному по Марковицу портфелю ценных бумаг соответствует минимальная дисперсия доходности портфеля, определяемая по формуле

(43)

Свойства эффективных портфелей

Портфели, оптимальные в смысле задачи Марковица, называются эффективными портфелями (efficient portfolios) рисковых ценных бумаг или оптимальными по Марковицу портфелями.

Осуществим качественный анализ решения задачи Марковица и сформулируем некоторые свойства оптимальных портфелей.

1. Согласно (39) с увеличением ожидаемой доходности портфеля вклады {} в ценные бумаги при возможности операции "короткая продажа" изменяются линейно: увеличиваются для более доходных и уменьшаются для менее доходных активов. Известно, что при невозможности операции "короткая продажа" имеет место кусочно-линейное изменение {}[17].

2. Из (43) следует, что риск оптимального портфеля возрастает вместе с ростом ожидаемой доходности. При возможности операции "короткая продажа" достижима сколь угодно высокая доходность при соответственно растущем риске. При невозможности данной операции максимальной доходностью обладает портфель, образованный из актива (активов) с максимальной ожидаемой доходностью (на рис. 4 такому портфелю соответствует точка А и доходность ).

Таким образом, из (43) следует, что функция описывающая зависимость между риском и доходностью оптимальных портфелей, является вогнутой и имеет положительный наклон (см. рис. 4). Причем если -функции, соответствующие предположениям о возможности и невозможности операции "короткая продажа", то имеет место соотношение Это означает, что при использовании операции "короткая продажа" всегда можно построить более эффективный портфель за счет решения задачи оптимизации на более широком множестве портфелей. Иллюстрацией данному свойству служит рис. 4.