Для образования понятия необходимо знать мыслительные операции и уметь ими пользоваться. Без анализа действительности – предметов и явлений – невозможно глубоко изучить их, без синтеза – соединить разъединенные части в единое целое, без обобщения – сделать вывод, а затем сформулировать понятие. В процессе изучения реальной действительности формирование понятий – цель мысленной деятельности человека, а знание операций мышления – средство, с помощью которого достигается эта цель. Но в сложном процессе образования понятия сами мыслительные операции учащегося непрерывно совершенствуются, модернизируются, поднимаются на более высокий уровень. Это можно использовать в учебной деятельности. Теперь развитие операций мышления учащегося становится целью, а образование понятий – средством, способствующим её достижению.

Понятие характеризуется содержанием, объемом, связями (и отношениями) с другими понятиями.

Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия.

Объем понятия – это множество объектов, к которым применимо данное понятие. По объему различают единичные понятия (объем их равен единице), общие понятия (их объем больше единицы) и понятия – категории – понятия самой широкой общности.

Между содержанием и объемом понятия существует обратная зависимость: чем шире содержание понятия, тем уже его объем, и, наоборот, чем уже содержание, тем шире его объем.

Связи и отношения между понятиями отражают действительно существующие разнообразные связи между явлениями природы, общества и мышления человека. Одни из них являются ближними, существенными, другие – отдаленными, опосредствованными.

В логике понятия делят на единичные и общие, на конкретные и абстрактные, на относительные и безотносительные.

Обобщением понятия называется переход от менее общих понятий к более общим. Оно происходит путем отбрасывания основных признаков понятия, т.е. признаков, принадлежащих всем объектам, входящим в объем обобщаемого понятия. Ограничением (конкретизацией) понятия называется, наоборот, переход от более общих понятий к менее общим, объем понятия при этом сужается, а содержание расширяется.

Понятие образуется при помощи операций анализа и синтеза, абстракции и обобщения. Содержание понятия раскрывается путем описания или с помощью определения, а объем – с помощью классификации (21).

Процесс раскрытия содержания понятия состоит в перечислении его признаков. Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведенных в связное предложение (речевое или символическое), есть определение понятия (математического объекта). Каждый из признаков, входящих в определение, должен быть необходим, а все вместе – достаточны для установления данного понятия. В определении должно раскрываться основное содержание понятия. В нем не должно содержаться лишних слов; не должно быть и пропусков (13).

К отысканию ближайшего рода следует стремиться потому, что в таком случае мы подходим ближе к определяемому понятию, его объему и благодаря этому уменьшается совокупность видовых признаков в определении. Такое определение состоит из определяемого понятия, логической связки и родового понятия с видовыми признаками. Определение будет логически правильным, если между двумя его основными составными частями существует отношение равенства. Иначе говоря, по отношению друг к другу не должны быть не слишком широкими, ни слишком узкими (если упущен один из существенных признаков или включен признак, присущий не всем определяемым объектам) (12).

Определяя понятия, руководствуются правилами:

- определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего понятия;

- родовое понятие должно быть ближайшим родом по отношению к определяемому понятию;

- видовые отличия должны быть присущи только определяемому понятию;

- определение должно быть кратким и ясным (21).

Существуют логические формы, которые не являются определениями, но близки к определению, иногда заменяют или дополняют его.

Описание понятия обычно применяется в тех случаях, если невозможно или нецелесообразно вводить определение. Таким способом вводятся первичные (основные) математические понятия. В определении определяемое понятие сводится к уже известному понятию, но самое первое понятие каждой науки не к чему сводить, поэтому ввести его через определение невозможно.

Описание понятия может не только заменять определение, но и дополнять его такой информацией, которая конкретизирует понятие, расширяет связи с другими понятиями, полнее раскрывает его содержание, помогает учащимся глубже понять и прочнее усвоить новое понятие (12).

1.2.2. Формирование и усвоение понятий

Формирование понятий – сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания – ощущений – и протекающий часто по следующей схеме: ощущения – восприятие – представление – понятие.

Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.

Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение (14).

Процесс формирования понятия – это длительный и сложный процесс, которому следует уделять достаточное внимание. Важным при формировании понятия является усвоение его существенных признаков. Словесное определение понятия должно быть итогом работы по усвоению существенных признаков. Однако часто бывает так: дается словесное определение понятия, и оно сразу же используется в дальнейшей работе, не смотря на то, что не все учащиеся достаточно хорошо усвоили его. Излишнее преувеличение роли словесного определения является одной из причин пробелов в знаниях учащихся.

Большим недостатком является традиция иллюстрировать определение понятия на одном, двух частных примерах, вместо того чтобы рассмотреть все существенные признаки понятия. Такое невнимание ведет к тому, что учащиеся главным образом обращают внимание на несущественные признаки. Лучшему усвоению существенных признаков понятия способствует варьирование несущественных признаков.

Основное внимание должно быть направлено не на заучивание определений, а на умение определять понятия (6).

Важно довести до сознания учащихся, что научные понятия изменчивы: определение понятия – это лишь один из начальных этапов его формирования, а далее идет процесс развития понятия – постепенное уточнение и усвоение содержания и объема понятия, его связей и отношений с другими понятиями.

Для формирования научных понятий учителю необходимо знать характеристики понятия как логической категории; способы образования и развития понятий; источники их образования; показатели, уровни и условия усвоения понятий учащимися, а также критерии способов их формирования и т. д.

Выбор методов формирования научного понятия не может быть произвольным или навязанным учителю, если даже он вытекает из самого содержания учебного материала.