Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне удачно, т.к. может создать представление о комплексных числах как о чём-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали употребляться ещё в XVI в., они долго продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального исчисления, немецкому математику Г.Лейбницу (1646-1716) принадлежат, например, такие слова: „Комплексное число – это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием”. Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия «мнимые числа». Уже во времена К.Гаусса (1777-1855) было дано геометрическое истолкование комплексных чисел как точек плоскости. Трудами выдающихся математиков XIX века О.Коши, Г.Римана и К.Вейерштрасса на базе комплексных чисел была построена одна из самых красивых математических дисциплин – теория функций комплексной переменной.

Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах:

а) натуральных чисел N={1,2,3,…,n,…};

б) целых Z={…,-2,-1,0,1,2,…};

в) рациональных Q={,n Z, n N};

г) действительных чисел R.

С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел – изменение любой величины. Арифметические операции над действительными числами снова дают действительные числа. Операция же извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных – из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя.

Ряд вопросов, возникших при решении уравнений третьей и четвертой степеней, привел математиков к необходимости расширить множество действительных чисел, присоединив к ним новое число i, такое, что i2=-1.Поскольку действительных чисел с таким свойством не существует, новое число назвали “мнимой единицей” – она не выражала ни результатов измерения величин, ни изменений этих величин. Но включение числа i потребовало дальнейшего расширения множества чисел – пришлось ввести произведение этого числа на все действительные числа, т.е. числа вида bi, где bR, а также суммы действительных чисел и таких произведений, т.е. числа вида a+bi, где a,bR. Получившиеся при этом числа были названы комплексными, т.к. они содержали как действительную часть a, так и чисто мнимую часть bi.

Опр: комплексными числами называются числа вида a+bi (a и b - действительные числа, i2=-1).

Если z=а+bi - комплексное число, то а называют его действительной частью, а b-мнимой частью. Приняты обозначения a=Re z, b=Jm z (от французских слов re¢ele - действительный и imaginaire - мнимый). Числа a+bi, для которых b¹0, называют мнимыми числами, а числа вида bi, b¹0,- чисто мнимыми числами.

Множество комплексных чисел обозначается С.

Два комплексных числа z1=a+bi и z2=с+di считаются равными друг другу в том и только в том случае, если а=с и b=d. В частности, число a+bi будет считать равными нулю, если a=0 и b=0.

Запись z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами:

1. Сложение: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Например , (2+3i)+(5-7i)=(2+5)+(3-7)i=7-4i.

2. Умножение: (a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i , причем нужно помнить, что i2 =-1. Эту формулу можно получить, умножая

(a+bi) на (c+di) по правилам действий над многочленами.

Например, (1+2i)(3-i) =3*1-1*i+6i-2i2 =3+2-i+6i=5+5i.

Рассмотрим степени числа i :

i1 =i ; i2 =-1; i3 =i2*i =-1*i =-i; i4 =i2*i2 =(-1)(-1) =1; i5=i3*i2=-i(-1)=i; i6= =i5*i=i*i=-1=i2; …

Вообщее, i4n+r =(i4)n*ir =(1)n *ir =ir.

Получаем, i4m=1; i4m+1=i; i4m+2=-1; i4m+3=-i.

Например, i218=i4*54+2=i2=-1.

3. Вычитание: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i

Например, (5+4i) - (2-3i) = (5-2) + (4+3)i = 3+7i.

Опр: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части.

Если z=a+bi, то сопряженное число имеет вид z=a-bi. Заметим, что z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a; z*z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2 . Следовательно, сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.

4. Деление: на практике при делении комплексных чисел удобно домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю:

a+bi = (a+bi)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i = ac+bd + bc-ad i

c+di (c-di)(c-di) c2 + d2 c2+d2 c2+d2

Например, 10+15i = (10+15i)(1-2i) _ 10-20i +15i +30 = 40-5i = 8-i

1+2i (1+2i)(1-2i) 1 + 4 5

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Как известно, действительные числа можно изображать точками на координатной прямой. А комплексное число естественно выражать точкой на координатной плоскости.

Каждому комплексному числу a+bi поставим в соответствии точку M(a;b) координатной плоскости, т.е. точку, абсцисса которой равна действительной части комплексного числа, а ордината - мнимой части. Каждой точке M(a; b) координатной плоскости поставим в соответствие комплексное число a+bi (рис.1).

Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Сама координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, которая называется действительной осью, а чисто мнимым числам - точки оси ординат, которая называется мнимой осью.

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа a+bi как радиус-вектора ОМ (см. рис.1), т.е. вектора, исходящего из начала координат О (о,о) и идущего в точку М (а;b). Разумеется, вместо радиус-вектора ОМ можно взять любой равный ему вектор.

Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом получают простое геометрическое истолкование операций над ними. При сложении чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i складываются их действительные и мнимые части. При сложении соответствующих им векторов ОМ1 и ОМ2 складываются их координаты. Иными словами, если числу z1 соответствует вектор ОМ1, а числу z1-вектор ОМ2, то числу z1+z2 соответствует вектор ОМ1+ОМ2, а числу z1-z2 - вектор ОМ1- ОМ2.

Перейдем к рассмотрению понятия модуля комплексного числа. Опр: Модулем комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому числу.

Для модуля числа z используется обозначение /Z/ или r. По теореме Пифагора (см. рис.1) для модуля комплексного числа z=a+bi легко получается следующая важная формула: /Z/=Öa2+b2, выражающая модуль числа через его действительную и мнимую части. Отмети, что /z/ = /-z/ = /z/, z*z = /z/2 = /z/2.