Вывод: SHaH6.=81cM при й.=6=.9см

Построение прямоугольников и запись решения в виде таблицы по­могает лучше видеть, как изменяется площадь прямоугольника с постоян­ной площадью.

Остановимся на решении экстремальных задач в разделе "Натуральные числа". Здесь на первом этапе решаются самые простые за­дачи, где число рассматриваемых элементов невелико. Это во многом упрощает организацию работы, требует меньше времени и создает хоро­шую возможность детям увидеть особенности применения метода перебо­ра к решению задач.

Задача. С помощью цифр 5,2 и 7 напишите все трехзначные числа, в каждом из которых все цифры различны. Среди этих чисел найдите наибольшее и наименьшее число

Решение: Это есть числа 527, 572, 275, 257, 752, 725. Наибольшее из них - 752, наименьшее - 257.

На первый взгляд кажется, что это очень простая задача, но она несет большую теоретическую нагрузку. В жизненных и производственных си­туациях часто приходится встречаться с задачами, которые допускают много различных решений. Решение экстремальных задач в курсе алгебры проходит в два этапа.

На первом этапе рассматривается неопределенная задача, текст кото­рой переводится на математический язык в виде неопределенного уравне­ния (функции), которое допускает много или бесконечно много решений.

На втором этапе по тем или иным признакам, которые заданы в яв­ном или неявном виде, определяется, какое из решений задачи наиболее выгодно.

1. Ознакомимся с решением экстремальных задач по теме "Линейная функция". Решение этих задач сводится к нахождению экстремума линей­ной функции ^= к-х, •+• о , где ^ и о - постоянные. Если эту функцию рассматривать на сегменте L^) J3>.3 , то она будет иметь на нем наимень­шее и наибольшее значения. При ^>о наименьшее значение у принимает

17

в точке л;= t/ , а наибольшее - в точке л'=/; при H^o функция У в точке Je-=<^ принимает наибольшее значение, а в точке л'=^ - наименьшее.

Задача. Расстояние между двумя шахтами А и б по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200т руды в сутки, на шахте В - 100т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наи­меньшим?

Решение: Выясним, что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км. Далее приступаем к решению за­дачи, обозначив расстояние от завода С до шахты А через х:

А С ^ ж ; 6С= 60-х- Количество тонно-километров, пройденных транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 ткм, а от В до С - 100*(60-JC) ткм. Суммарное количество (ткм) выразится функцией

f^^pOx.-^ {0£>( ео-зе.)-^ ^оОх. т- ёооо, д которая определена на сегменте L. О , 60.1.

ysssas-SL .^- ,,- ^<=--„ -„.™— , Ясно, что это уравнение может иметь А (- ьи—^ в

бесконечно много решении.

Исследуя функцию У= -foOx + 6000 на сегменте Г о •j bo], получим:

^г^п, "s Gooo . Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при ^ ^0, !/^„ = 6cw?TKM. Завод надо строить возле шахты А.

2. Решение задач по теме "Квадратичная функция" сводится к иссле­дованию квадратного трехчлена, поэтому при их решении используются приемы выделения квадрата двучлена или свойствами квадратичной функции.

Задача. Предлагается сделать ограду для квадратного участка земли со стороной 20м или прямоугольного участка земли , основании которого на несколько метров больше, а высота на столько же метров меньше. Сравните площади, периметры квадрата и пря­моугольника.

Решение: Поскольку сторона квадрата 20м, то Р =80м, s5 =400м2 Если бы одну сторону квадрата уменьшить на X метров, а другую увели­чить на Х метров, то Р= -?• (20+ к)ч- 2 • (Ю~ У), S = ^00-х. -? -fc ^СЮ

С^ ^

J наиб. =400//при jc=o . Следовательно, наибольшую площадь из всех прямоугольников с одинаковыми периметрами имеет квадрат.

18

Достаточно много экстремальных задач можно решать при изучении темы "Квадратный трехчлен". К исследованию квадратичной функции на экстремум сводятся многие задачи экономики, физики, техники, алгебры.

Рассмотрим функцию, заданную формулой (/.^биг^юл. + с , где а., ё,с, - некоторые числа, причем о. ^ о , п. - переменная, п- е ^ Если -- ^/2а<:Д/, то при п.= -^/зл. данная функция принимает экстремальное значение. Если -%а> ^ и { /2а\^/^ то данная функция принимает одно и

• - •/ /<й ^ц ,/ fft ./

то же экстремальное значение дважды: при ^\-•=•~^72Q.i•/2 "• Л^~у2сг ~- /2 . Если - ^/2о, ^ \ , то данная функция принимает наибольшее ( наименьшее) значение всегда при п. =. i .

В остальных случаях данная функция принимает экстремальное зна­чение при натуральном п, которое ближе расположено на числовой прямой к числу - &/^ .

Среди задач на оптимизацию есть задачи, которые могут быть ис­пользованы как на уроках алгебры, так и на уроках геометрии. Это объяс­няется тем, что с точки зрения^ содержания они геометрические (сформулированы в геометрических терминах), а по методу решения это задачи алгебры (они сводятся к определению экстремума функции мето­дом опорной функции).

Задача. Найти максимум произведения лу^ , если •х- ^ .^ ^JL -^ { о. с> с.2'

Решение: Найдем максимум произведения -х— • -"— ' -fc— , т.к. зсл/i а2- У с.3 (J

у 22

максимально при тех же условиях, что и -•х . у -. z—. По уело -

а.-2- ^ eQ -

л5- у2 г2 ,

вию —— + -^- ^ —з- = < , тогда должно выполняться равенство:

Тг^- Ч^ ? ^ •J£ У 2 ^

-a-s" :: g7- = ~сТ или -а"^ '^^'с'^ уу . Т.к. сумма слагаемых постоянна, то их произведение будет наибольшим когда они равны. Тогда m-OLK (^г}^ л-8-е -- /Г о ее. Ответ: ^•^•^ о

m-CLX (^i) = j^^g <7 ' <э '

19

1.7. Понятия о задачах математического программирования

Математические модели реальных задач описываются уравнениями, системами уравнений или дифференциальными уравнениями. Но в школь­ном курсе изучаются еще неравенства и системы неравенств, а их прило­жения иллюстрирующих их применение для решения реальных задач от­сутствуют. Для заполнения этого пробела в первых изданиях учебника "Алгебра и начала анализа" содержался пункт "Понятие о линейном про­граммировании". Ниже приведем методику изложения трех основных за­дач линейного программирования для изучения в математических кружках в средней школе.

1.7 Л. Транспортная задача линейного программирования

1. Постановка задачи : Пусть на двух станциях ^4 и /\, сосредоточено

соответственно Ct, и 0.^ тонн груза, который необходимо доставить в пункты 6 , Ь-г., В,, в количестве I,, ^д , ^ , соответственно. Стоимость перевозки 1

тонны груза со станции у1, в пункты В,, Вд, &з составляет Сц , С^, G^ рублей