ВВЕДЕНИЕ

Дипломная работа в целом посвящена методам решения экстремаль­ных задач. Причем более подробно изложены те классы экстремальных за­дач, которые не изучаются ни в школьном курсе, ни в педвузовском курсе математики. Однако основная идея их решения лежит на основе построе­ния математических моделей экономических задач и их решения.

В первой части дипломной работы рассмотрены простейшие задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения, которые решаются элементарным способом - на основе известных неравенств: среднее ариф­метическое не меньше среднего геометрического. В случае равенства сум­ма принимает минимальное значение, а произведение достигает макси­мального. Рассмотрены экстремальные значения квадратного трехчлена, а также решение экстремальных задач с применением производной.

Далее рассматриваются основные понятия о задачах математическо­го программирования: транспортная задача линейного программирования;

задача о рационе; задача об оптимальном использовании сырья; рассмот­рены задачи нелинейного программирования (случай нелинейной целевой функции; случай нелинейной целевой функции и нелинейной системы ограничений).

Во второй части приводятся основные понятия о краевых задачах, примеры аналитического решения краевых задач, приближенный метод решения. Приводится сходящийся алгоритм для линейных краевых задач. На основе этого алгоритма при помощи ЭВМ решены цикл различных краевых задач; численные результаты приведены в приложениях.

Третья часть посвящена'одномерным вариационным задачам и мето­дам их решения.

Преимущество данной работы в методическом плане заключается в том, что вариационная задача, в частном случае, может быть сведена к обычной задаче на отыскание экстремума функции одной переменной, а поэтому позволяет ввести понятие вариационной задачи уже в школьном курсе в классах с углубленным изучением- математики, как новый класс экстремальных задач.

Далее в работе приводится вывод уравнений Эйлера-Лагранжа. На их основе рассмотрены примеры аналитического решения вариационной за­дачи. Получен алгоритм решения линейных вариационных задач на основе метода конечных разностей, которая не решается аналитическими приема­ми. На основе этого алгоритма на ЭВМ решены ряд задач, численные ре­зультаты приведены в приложениях.

Другой метод решения вариационных задач - метод Ритца вводится на простейших примерах, а затем обобщается. Так как оценка точности ме­тода Ритца не является тривиальной задачей, то сравнительный анализ численных результатов весьма актуален.

Решение рассмотренных задач методом Ритца и другими приемами, сравнительный анализ результатов показывает хорошую достоверность этого метода уже в первом приближении.

В заключении приводится одна новая модификация метода Ритца, при помощи которой вариационная задача сводится к достаточно простой задаче отыскания экстремума функции одной переменной. При этом про­цедура нахождения корня нелинейного уравнения выполнима лишь при­ближенными методами. Сравнительный анализ численных результатов по­казывает надежность метода. Основная ценность этой модификации в ре­шении существенно нелинейных задач.

В конце третьей части этой работы приводится идея обобщения рас­смотренных задач на двумерный случай и методом Ритца решается дву­мерная задача.

I. ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

1.1. Определение экстремума элементарным способом

Во многих учебных пособиях для 7-х и 8-х классов встречаются не­равенства, связывающие среднее арифметическое и геометрическое:

^ ^

С-гI

где среднее арифметическое больше или равно среднего геометриче­ского, что очевидно:

°^-^^Г-=? а^г 2.1/ЙГ»;> ({&')^({Г)^ г^\1аГ^ {fS-fT)\0

Причем равенство возможно только при ft=6. При помощи этого нера­венства решаются задачи на экстремум:

1) Положительное числоД представить в виде суммы положительных слагаемых х и^-^так, чтобы их произведение х-(/^-х) было наибольшим.

Решение: Найти х?о (/Ьх^при гл-сх-х Е Х (А-У)'3 о Пусть о-=Х и &=/4-х. Знаем, что ^^clx (a-5J-w-axV'aS = а——

При 0-^0

т.е. ?< = А-У — Х= ^/^

2) Найти прямоугольник, имеющий данный периметр Р и наиболь­шую площадь. Пусть о. и ^ - стороны прямбугольника, тогда .?= 2-(o-t-e) . Площадь ^а-с' принимает максимальное значение как произведение двух положительных чисел при (Х-^о. Тогда J?=<?fci<-a,)^a=^, искомый прямо­угольник будет квадратом со сторонами а =- -Р/^

3) Положительное число л представить в виде произведения поло­жительных множителей X и С^/у)так, чтобы их сумма была наименьшей.

Речение • /-Ссихт-сх. х ^al<- m-t,n, f х+ ух J . Эше-тб cl^ X,

g= ^узс •, ^и-^ (Cl+^)= 2--SS'.

при <Z=6 ,т.е. при х^ /у. -^ X ^Р ^ ^= ip

Значит ^ — р - t-7 ^ L Х+ ^--1 - ^^ Г -/Р^- ^ J ^. JP7

4) Найти минимальное значение функции t/ = Х + /X , т.е. сум­мы А-^- /^ ( Х 70^)

m-Lrb ( х -/- ^< ^ 2 / Х-^( = ^ или при Л = ^ ^ ^ =^ тогда . /

г^п. (Х^- Ух) =- /^ // -^

5) Найти при УЮ ,CL70,o-70 наименьшее значение дроби

77 i (ol-i-x)c 6+Х-}

^ Р f)

Решение- iQ^Lli&tl) = Q10- 4" y +-cl+o если сумма У ' у х

CL 4-6 .- ' /- /-

•—.-— + х принимает наименьшее значение и дробь будет наименьшей, т.е. при а,' & ^ у ^ у,2 ^ cl-u ^' Х^УЛ-о

• (о-^)^) х (а^ {лУ ) ( & г /аТ) /_ /^,2 ^ ^—— -- ————^у————— -(/^Ч&;

Итак, мы привели задачи, для решения которых использовали нера­венство Коши для двумерного случая. Переходим к рассмотрению этой за­дачи в общем виде.

1.2. Соотношение между средними величинами. Определение экстремума суммы и произведения из неравенства Коши

Пусть имеется несколько неотрицательных чисел Ct^CLs.,, , 0^. . Будем считать, что они пронумерованы в порядке возрастания, т.е. О/ ^О-л. ^ • ^ ^л- • Средней величиной для этих чисел называется всякое число О. , удовлетворяющее неравенствам и/ ^ й- ^ 0^ • Вообще говоря, средних величин имеется сколько угодно. Мы рассмотрим четыре средних величины, наиболее употребительные в математике:

1. Среднее арифметическое: /U = -°-^ ах- ^ •" + л>\- 0)

~t -L < П-

2. Среднее геометрическое: jl^ -•^ Q.^-CLa.-,„ ' Л^. (2)

3. Среднее гармоническое: ^ = ^ ^^ ^ Уси (3)

4. Среднее квадратичное: /Ц -: \ О-^-ь О-а- +^•• -^ ^ (4) ^ v п-

Наша задача состоит из двух частей:

а) доказать, что числа А/г, Л. ^/ -^ -действительно средние величины для СЬ, О-а., - •-, 0^- ,

б) установить неравенства между ними.

В выражении (1) заменить все йс ( L r // ^ • -, п-) самым наи­меньшим из них Л< ; получим М^ ^ Д< . В выражении (1) заменим все СШ наибольшим из них OLr^ ; получим -/У/ l^ Cin. .