Пусть имеется уравнение

или

где

· - неизвестная функция от независимой переменной ;

· - известная функция.

Все численные методы решения задачи Коши основаны на приближенной замене искомой функции степенными многочленами.

В методе Рунге-Кутта четвёртого порядка отыскивается приращение, которое даёт приближающий многочлен на шаге интегрирования. Приращение искомой функции вычисляется в виде произведения длины шага на значение производной от этой функции. В качестве производной берется средневзвешенное от значений производных вычисленных в специально подобранных четырёх точках.

В качестве первой точки берут начальную точку шага .

Производная в этой точке равна

,

где - правая часть уравнения .

В качестве второй точки на плоскости решения выбирают точку с координатами .

Производная во второй точке равна

Для третьей точки берут координаты и вычисляют производную

Наконец, для четвёртой точки берут координаты и вычисляют производную

По полученным четырём значениям производной находят средневзвешенное значение

Теперь, находят координаты конечной точки шага.

При решении системы уравнений вычисления ведут параллельно для каждого из уравнений.

4.2 Описание алгоритма одного шага

В алгоритме используются следующие идентификаторы

Таблица 4

Блок-схема алгоритма изображена на Рисунке 2. Номер переменной записан как верхний индекс.

В цикле с номерами блоков 2, 3, 4, 5 обнуляются второй и третий столбцы рабочего массива R.

Внешний цикл с номерами блоков 6 - 18 вычисляет производные в четырех им формируемых точках и накапливает средневзвешенное значение приращений в третьем столбце рабочего массива R. Вдоль столбца расположены значения, соответствующие всем N искомым переменным.

Блок 7 задает в цикле последовательно значения независимой переменной : TN, TN+0.5H, TN+0.5H, TN+H .Константы 0, 0.5, 0.5 и 1 содержатся в первом столбце массива Р.

Цикл 8 - 11 записывает в первый столбец рабочего массива значения переменных для вычисления производных. Для этого к начальному значению переменной прибавляется сначала нулевое приращение, затем половина приращения, получаемого на шаге со значением производной в начальной точке, потом половина приращения, получаемого на шаге с значением производной во второй точке, и , наконец, полное приращение, получаемое на шаге со значением производной в третьей точке.

В блоке 12 выполняется обращение к подпрограмме вычисления производных. Подпрограмме передается значение независимой переменной и первый столбец рабочего массива, содержащий значения зависимых переменных в задаваемой точке. Подпрограмма возвращает массив F значений производных.

В цикле 13 - 16 во второй столбец рабочего массива по вычисленным значениям производных записываются приращения, а в третьем столбце накапливаются суммы четырех приращений с весовыми коэффициентами 1/6, 1/3, 1/3, 1/6 . Константы 6, 3, 3, 6 для этого хранятся во втором столбце массива Р.