Задача ЛагранжаРефераты >> Математика >> Задача Лагранжа
При этих допущениях моделью потребительского оптимума служит задача Лагранжа
u(Х) ® max
при условии
å рiхi = m,
где рi - цена i - го блага, а m - денежный доход потребителя. Условия оптимальности имеют вид
Введем для удобства обозначение и представим условия оптимальности в форме
Формально эта система похожа на систему (39), описывающую оптимальность в задаче о рационе Робинзона. Но здесь имеются и существенные отличия. Во-первых, теперь мы отказались от предположения о суммируемости полезностей различных благ, и ui, - не производные полезностей отдельных благ, а лишь частные производные общей функции полезности. Во-вторых, u(Х) - это не полезность в некоторой абсолютной количественной шкале, а лишь функция, согласованная с предпочтениями и отражающая только порядковые отношения. Тем не менее, перечень аналогичных свойств можно продолжить. Для любой пары благ (i, j) в точке оптимума должны выполняться соотношения
Отметим, что выражение в левой части — это норма замещения i-го блага j-м при постоянстве объемов всех остальных благ: в пределах поверхности безразличия должно выполняться равенство
то есть
Как мы уже выяснили, значение множителя Лагранжа должно выражать предельную полезность лимитирующего ресурса, в данном случае - денежного дохода (или, проще, - предельную полезность денег). Но поскольку значения функции u(Х) не являются абсолютными значениями полезности, постольку и полная полезность денег
имеет смысл лишь по отношению к выбранной шкале полезностей. То же относится и к предельной полезности денег.
Что произойдет, если функцию полезности u(Х) заменить равносильной ей функцией u*(Х)? Отношение предпочтения сохранится, если u*(Х) = j(u(Х)), где j(u) - монотонно возрастающая функция. Правило дифференцирования сложной функции позволяет утверждать, что
где j'(u) - значение производной dj (u)/du. Заметим, что множитель j(u) является одним и тем же для всех благ. Поэтому условия оптимальности
ui(Х) = lpi
и
ui(Х) = l рi
определяют одно и то же положение потребительского оптимума в пространстве благ. Различаются лишь значения множителей Лагранжа:
l = j'(u) l (47)
К этому результату можно подойти с другой стороны. Задавшись некоторым значением m дохода, при использовании функций u(Х) и u*(Х) мы получим один и тот же оптимальный набор благ Х0 . Общая полезность денег в одной шкале примет значение U(m) = u(Х0), в другой . Таким образом, при любом уровне дохода
U'(m) = j(U(m)), (48)
то есть общие полезности дохода в разных шкалах связаны между собой точно так же, как и полезности наборов благ. А так как множитель Лагранжа в рассматриваемой задаче - это предельная полезность денежного дохода, то, применяя к равенству (48) правило дифференцирования сложной функции, мы снова придем к равенству (47).
Заметим, что оптимум потребителя не всегда может быть определен в рамках задачи Лагранжа. Множество допустимых решений ограничено не только бюджетом потребителя, но и условиями неотрицательности объемов благ:
Если на бюджетной поверхности норма замещения каких-либо двух благ всюду больше или всюду меньше отношения цен, то равенство (46) не может выполняться ни в одной точке. Задача не имеет внутреннего решения, а имеет угловое решение. В рамках задачи Лагранжа не могут быть описаны решения, которые лежат на границах области, определяемой неравенствами.
11. Лабораторные задачи
Задача 1: Некоторое торговое предприятие в течении промежутка времени Т собирается завести и реализовать некоторый товар R общим объёмом. Стоимость завоза одной партии равна Сs, а хранение обходится С1. Необходимо определить оптимальный размер поставки, чтобы суммарный, а так же количество поставок, интервал времени между поставками и минимальные суммарные издержки. Т.е. надо найти: qo, no, tso, Qo.
Вариант 1.
T = 24
R = 240000
Cs = 1000
C1 = 30
Вариант 2.
T = 12
R = 15000
Cs = 800
C1 = 60
Вариант 3.
T = 6
R = 9000
Cs = 450
C1 = 20
Вариант 4.
T = 12
R = 9000
Cs = 1200
C1 = 40
Вариант 5.
T = 8
R = 13000
Cs = 900
C1 = 46
Вариант 6.
T = 3
R = 5000
Cs = 300
C1 = 15
Вариант 7.
T = 12
R = 17000
Cs = 1400
C1 = 60
Вариант 8.
T = 6
R = 9000
Cs = 1300
C1 = 30
Вариант 9.
T = 24
R = 250000
Cs = 12000
C1 = 65
Вариант 10.
T = 12
R = 10000
Cs = 3000
C1 = 35
Задача 2: Торговое предприятие намерено завести и реализовать товар n видов объемами соответственно Rn. Весь объем складских помещений составляет V. Стоимость хранения одной единицы товара равна C1n. Расходы по завозу Csn. При этом каждая из n единиц занимает Vn метров. Найти оптимальные размеры поставок каждого из видов товара.
Вариант 1.
n = 2
R1 = 32000, R2 = 30000;
C11 = 9, C12 = 10;
Cs1 = 1100, Cs2 = 1350;
V1 = 2, V2 = 4;
V = 20000;
Вариант 2.
n = 4
R1 = 4000, R2 = 2000,
R3 = 5000, R4 = 5000;
C11 = 6, C12 = 7, C13 = 9,
C14= 12;
Cs1 = 1100, Cs2 = 1000,
Cs3 = 2000,
Cs4 = 3000;
V1 = 3, V2 = 5, V3 = 5, V3 = 8;
V = 24000;
Вариант 3.
n = 2
R1 = 3500, R2 = 19000;
C11 = 6, C12 = 5;
Cs1 = 1900, Cs2 = 1200;
V1 = 4, V2 = 5;
V = 25000;
Вариант 4.
n = 3
R1 = 4000, R2 = 2000,
R3 = 1000;
C11 = 8, C12 = 8, C13 = 9;
Cs1 = 200, Cs2 = 600, Cs3 = 200;
V1 = 2, V2 = 5, V3 = 3;
V = 9000;
Вариант 5.
n = 2
R1 = 4200, R2 = 2000;
C11 = 6, C12 = 8;
Cs1 = 1500, Cs2 = 1900;
V1 = 3, V2 = 6;
V = 15000;
Вариант 6.
n = 3
R1 = 24000, R2 = 19000,
R3 = 20000;
C11 = 6, C12 = 10, C13 = 10;
Cs1 = 1900, Cs2 = 2000,
Cs3 = 2000;
V1 = 7, V2 = 5, V3 = 5;
V = 30000;
Вариант 7.
n = 3
R1 = 32000, R2 = 5000,
R3 = 21000;
C11 = 8, C12 = 5, C13 = 10;
Cs1 = 1800, Cs2 = 990,
Cs3 = 1000;
V1 = 4, V2 = 2, V3 = 3;
V = 26000;
Вариант 8.
n = 2
R1 = 12500, R2 = 8200;
C11 = 3, C12 = 8;
Cs1 = 900, Cs2 = 1900;
V1 = 3, V2 = 5;
V = 15000;
Вариант 9.
n = 3
R1 = 32000, R2 = 44000,
R3 = 20000;
C11 = 8, C12 = 10, C13 = 15;
Cs1 = 1500, Cs2 = 1900,
Cs3 = 2500;