2. В таблице расставлены числа. В каждой строке и в каждом столбце произведение чисел равно 1. В каждом квадрате произведение чисел равно 2. Найти произведение чисел, стоящих в двух верхних клетках третьего столбца.

3. Докажите, что число 516 + 214 - составное число.

4. Дана окружность с центром в точке О1. Окружность с центром О2 проходит через точку О1. А и В - точки пересечения этих окружностей. Касательная к окружности с центром О2, проходящая через точку В пересекает первую окружность в точке С. Докажите, что AB=BC.

5. По кругу сидят 2002 хамелеона, которые могут менять цвет в следующем порядке: синий, оранжевый, фиолетовый, зелёный. Если прикоснуться к одному из них, то он меняет цвет на следующий по порядку, и одновременно с ним меняют свой цвет трое следующих за ним по часовой стрелке. В начальный момент времени все хамелеоны - синие. Можно ли добиться того, чтобы все хамелеоны стали зелёными?

11 класс

1. Доказать, что для всех положительных чисел a, b, c, d выполняется неравенство

.

2. Вычислить:

3. В некоторой компании мальчиков больше, чем девочек. Если каждый мальчик купит батончик "Snickers", а каждая девочка - батончик "Mars", то они истратят на 1 рубль меньше, чем если бы каждый мальчик купил "Mars", а девочка "Snickers". На сколько мальчиков больше чем девочек?

4. В параллелограмме ABCD AD+BC=BD. На стороне AB взята точка K, а на стороне CD - точка M так, что AKCM - ромб. Найти отношение AK:KB.

5. В каждой вершине тетраэдра находится лампочка, которая может гореть поочерёдно красным, желтым, зелёным цветом. На каждой грани тетраэдра находится кнопка, при нажатии на которую все лампочки в вершинах, принадлежащих этой грани, меняют своё состояние на следующее. Можно ли путём нескольких нажатий добиться того, чтобы все лампочки горели жёлтым цветом, если изначально все они горели красным цветом.

РЕШЕНИЯ. 9 КЛАСС.

1. Количество мужчин и женщин, состоящих в браке, - одно и то же. Обозначим его . Тогда мужчин на острове - , женщин - . Общее число жителей - .

Состоящих в браке - . Тогда искомая величина: .

2. Пусть разрезан на два равных треугольника (см. рис). Тогда в должен быть равен одному из углов . Но не может равняться или , так как внешний угол треугольника всегда больше внутреннего угла, не смежного с ним. Если же , то , значит является высотой. Так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, то , что противоречит тому, что - разносторонний. Следовательно, разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных треугольника.

3. (ABDE)(BCEF)=(ABC)(DEF)(BE). Учитывая, что ABDE=BCEF=4, ABC=DEF=1, получаем равенство: 16=BE. Аналогично получим, что EH=16. Перемножаем полученные равенства: (BE)(EH)=(BEH)E. 1616=E.

Ответ: E=256.

4. Обозначим 2001=. Тогда данное нам числовое выражение запишется в виде:.

Тогда .

5. Пусть Nk, Ns и Nz - количество красных, синих и зелёных амёб, соответственно. В начальный момент времени , - нечётны, - чётно. Нетрудно проверить, что при любом слиянии эти чётности сохраняются. Поэтому в конце концов , . Ответ: последняя амёба - синяя.

РЕШЕНИЯ. 10 КЛАСС.

1. Пусть x$ - стоимость первого автомобиля, y$ - стоимость второго автомобиля. При продаже Вася получил 9000$ чистой прибыли. Составляем систему уравнений:

.

Решив систему, найдём . Тогда сумма штрафа составляет 12000$. 12000 - 9000=3000.

Таким образом, Вася потерял 3000$.