Глава 2 Введение в теорию представлений групп симметрии молекул

2.1 Векторные (линейные) пространства

1. Модуль и векторное пространство

Определение 1. Кольцом называется множество K, в котором определены операции сложения и умножения и выполняются аксиомы:

1. Относительно сложения кольцо является абелевой группой, т. е. в аддитивной записи операций имеют место условия (для всех a, b, c Î K):

a+b=b+a – коммутативность (абелевость) сложения;

(a+b)+c=a+(b+c) – ассоциативность сложения;

a+0=0+a=a – существование нулевого элемента;

a+(-a)=(-a)+a=0 – существование противоположного элемента.

2. Умножение связано со сложением аксиомами дистрибутивности:

(a+b)c=ac+bc; c(a+b)=ca+cb.

3. Умножение ассоциативно:

(ab)c=a(bc).

Определение 2. Полем называем коммутативное по умножению кольцо, в котором каждый ненулевой элемент а имеет обратный элемент, т. е. такой элемент a-1, что , где е – единица кольца.

Определение 3. Левым модулем над кольцом K называется абелева группа по сложению М, для которой определены произведения kmÎM для всех kÎK и mÎM, причем выполняются аксиомы:

1) k(m1+m2)=km1+km2;

2) (k1+k2)m=k1m+k2m;

3) (k1k2)m=k1(k2m)

для любых m, m1, m2ÎM и k, k1, k2ÎK.

Если в кольце K есть единицы (что мы предполагаем), то выполняется еще аксиома

4) em=m

для любого mÎM.

Аналогично определяются правые модули, в которых произведение записывается в виде mk. Модуль одновременно левый и правый называется двусторонним модулем, будем называть его просто «модулем».

Определение 4. Модуль над полем P называется векторным, или линейным пространством над полем Р.

Определение 5. Подмножество M1 левого модуля М над кольцом K называется подмодулем модуля М, если (m1+m2)ÎM1 для всех m1, m2ÎM1 и kmÎM1 для всех kÎK и mÎM1.

Определение 6. Подмодуль векторного пространства называется подпространством векторного пространства.

2. База (базис) и размерность векторного пространства

Пусть М – левый модуль над кольцом K. Выражение вида k1v1+k2v2+…+knvn, где kiÎK, viÎM, называется линейной комбинацией векторов v1, v2, …, vn. Если все ki=0, то линейная комбинация называется тривиальной. Если вектор v является линейной комбинацией векторов v1, v2, …, vn, то говорят, что он выражается через систему S=<v1, v2, …, vn>.

Определение 7. Конечная система векторов v1, v2, …, vn векторного пространства называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная нулю. Система, не являющаяся линейно зависимой, называется линейно независимой.

Бесконечная система векторов векторного пространства называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.

Определение 8. Векторное пространство V называется конечномерным, имеющим разность n, если в нем найдется n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов линейно зависимы. Если в векторном пространстве можно указать систему из n линейно независимых векторов для любого конечного числа n, то это пространство называется бесконечномерным.

Размерность пространства обозначается в виде dim V.

Определение 9. Базисом или базой, в n-мерном векторном пространстве V называется любая ее система из n линейно независимых векторов.

Если e1, e2, …, en – база пространства V и v=x1e1+x2e2+…+xnen, то числа x1, x2, …, xn определяются однозначно и называются координатами вектора v в базе e1, e2, …, en. Вектор v в этом случае можно записать в виде v=( x1, x2, …, xn).

2.2 Эвклидовы и унитарные пространства

1. Билинейные и квадратичные формы

Определение 1. Линейной функцией, или линейной формой, в векторном пространстве V над полем вещественных (комплексных) чисел Р называется отображение f векторного пространства V в поле Р, ставящее в соответствие каждому вектору вещественное (комплексное) число, если это отображение удовлетворяет следующим условиям:

1) f(x+y)=f(x)+f(y);

2) f(ax)=af(x),

где x, y - произвольные векторы из пространства V, а aÎP.

Если dimV=n, e1, e2, …, en – базис пространства V и x= x1e1+x2e2+…+xnen – произвольный вектор из этого пространства, то

f(x)=f(x1e1+x2e2+…+xnen)= x1f(e1)+x2f(e2)+…+xnf(en) или

f(x)= a1x1+a2x2+…+anxn, где ai=f(ei), i=1, 2, …, n.

Таким образом, при фиксированном базисе линейная функция представляется линейной формой (формой называется однородный многочлен).

Определение 2. Полулинейной формой или линейной функцией второго рода называется функция f, удовлетворяющая следующим условиям:

1) f(x+y)=f(x)+f(y)

2)

где - число, комплексно-сопряженное с l.

Определение 3. Функция A(x, y) векторов x и y векторного пространства V над полем вещественных чисел называется билинейной функцией или билинейной формой, если при фиксированном x она является линейной функцией от y, а при фиксированном y – линейной функцией от x.

По аналогии с линейной функцией можно показать, что билинейная функция представляется билинейной формой, т. е. выражением вида

, где aik=A(ei, ek).

Поэтому билинейную функцию часто тоже называют билинейной формой.

Если A(x, y)=A(y, x) при любых x и y, билинейная форма A(x, y) называется симметрической.

Определение 4. Функция A(x, x), которая получена из симметрической билинейной формы, если наложить y=x, называется квадратичной формой.

Определение 5. Функция A(x, y) называется полуторалинейной формой векторов x и y комплексного пространства или билинейной формой в комплексном векторном пространстве, если при фиксированном y форма A(x, y) есть линейная форма от x, а при фиксированном x форма A(x, y) есть полученная форма от y.

В комплексном векторном пространстве полуторалинейную функцию можно представить в виде билинейной формы , где aik=A(ei, ek).

Определение 6. Билинейная форма в комплексном пространстве называется эрмитово-симметрической или эрмитовой, если A(x, y)=для всех векторов x и y из этого пространства.

Определение 7. Эрмитовой квадратичной формой называется функция, полученная из эрмитово-симметрической формы A(x, y), если положить в ней y=x. Так как A(x, x)=, то эрмитова квадратичная форма принимает только вещественные значения.

Определение 8. Квадратичной формой на пространстве V (вещественном или комплексном) называется такое отображение (Р – поле вещественных или комплексных чисел), для которого существует билинейная (полуторалинейная в случае Р=С) форма В(x, y) со свойством A(x)=B(x, x) для любого вектора xÎV.