. (25)

Возвращаясь к случаю группы S3 получаем d=3, а коэффициенты можно найти из табл. 4 на основании выражения (24). При этом сначала зафиксируем индекс j, а индексы i и k будем менять, что позволяет разбить систему (25) на три подсистемы, соответствующие значениям j=1, 2, 3. Выпишем сначала 27 значений Cijk, разбитых на три группы, по 9 значений в каждой:

С111=1; С112=0; С113=0;

С211=0; С212=1; С213=0;

С311=0; С312=0; С313=1;

С121=0; С122=1; С123=0;

С221=2; С222=1; С223=0; (26)

С321=0; С322=0; С323=2;

С131=0; С132=0; С133=1;

С231=0; С232=0; С233=2;

С331=3; С332=3; С333=0;

Тогда находим следующие системы уравнений:

(27)

Подставляя в найденные системы уравнений (27) значения из выражений (26), получим

(1-х1) х1=0; - х2 х1+ х2=0; - х3 х1+ х3=0;

(1-х1) х2=0; (I) 2х1+(1-х2) х2=0; (II) - х2 х3+2х3=0; (III) (28)

(1-х1) х3=0; (1-х2) х3=0; 3х1+3х2-x32=0.

Обратим внимание на два обстоятельства.

1. Во всех трех системах находятся одни и те же неизвестные, стоящие вторыми сомножителями, т. е. вектор x=(x1, x2, x3) является общим собственным вектором всех матриц С(1), С(2), С(3).

2. Указанные системы можно получить, взяв матрицы (24), транспонировать их, рассмотреть разности C(1)-X1E, C(2)-X2E, C(3)-X3E и затем умножить полученные матрицы на столбец (x1, x2, x3)Т (знак Т обозначает транспонирование).

Заметим, что выше уже записаны уравнения для нахождения собственных векторов матриц C(i), однако в этих уравнениях фигурируют собственные значения этих матриц, которые необходимо найти. Для матрицы С(1) получаем трехкратное собственное значение, равное единице, поэтому находим собственные значения матриц С(2) и С(3). Запишем для них вековые уравнения:

; . (29)

Раскрывая определить третьего порядка, получаем

(l2-l-2)(2-l)=0; l1=l2=2; l3=-1; -l3-9l=0; l1=0; l2=3; l3=-3.

4. Находим теперь собственные векторы для рассматриваемых матриц. Для матрицы С(1) – это произвольный вектор x1(1)= (x1, x2, x3). Для собственного значения l=2 матрицы С(2) имеем

,

где x3 – любое. Сам вектор можно записать в виде x2(2)= (x1, x2, x3). Поскольку l=2 – двукратное собственное значение, то матрица С(2) имеет два линейно независимых собственных вектора с собственными значениями, равными 2, например, (1 1 0) и (0 0 1) (фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений).

Для l=-1 в случае той же матрицы находим

x2(-1)=(-2x2, x2, 0)=(2x2¢, -x2¢, 0); x2¢=-x2.

Для собственного значения l=0 матрицы С(3) получаем х3(0)=х2(-1), т. е. мы уже нашли общий собственный вектор матриц С(1), С(2), С(3).

Для l=3 в случае матрицы С(3) запишем x3(3)= (x1, x1, x1).

Для l=-3 той же матрицы С(3) получим x3(-3)= (x1, x1, -x1).

Таким образом, выполнили пункт 4 алгоритма для нахождения характеров неприводимых представлений конечных групп. Чтобы выполнить пункт 5, необходимо найти общие собственные векторы для всех матриц C(i), i=1, 2, 3. Один из них уже найден – это вектор x3(3)=(x1, x1, x1) приравнивается вектору x2(2)= (x1, x1, x3), откуда следует, что x3=x1. Получим второй общий собственный вектор. Соответствующие собственные значения для этого вектора запишем в виде (1, 2, 3).

Приравняем теперь векторы x3(-3)= (x1, x1, -x1) и x2(2)= (x1, x1, x3). Это дает x3=-x1, т. е. третьим общим собственным вектором рассматриваемых матриц будет вектор (x1, x1, -x1). Поскольку матрица С(3) имеет все различные собственные значения, то соответствующие собственные подпространства одномерны. Но так как у матриц С(2) и С(3) должны быть общие собственные векторы, это накладывает ограничения x3=-x1 для собственных векторов матриц С(2) вида x2(2), которые образуют двумерное собственное подпространство. Чтобы получить характеры неприводимых представлений, необходимо нормировать полученные общие собственные векторы, учитывая, что порядок группы S3 равен 6 и что числа элементов в классах сопряженных элементов образуют вектор (1, 2, 3). Умножив скалярно вектор x3(3)= (x1, x1, x1) на вектор (1, 2, 3) и разделив на 6, получим

; x1+2x1+3x1=6,

т. е. х1=1.

Таким образом, получаем первый характер х1=(1, 1, 1). Для вектора (x1, x1, -x1), умножая его скалярно на (1, 2, -3) и деля на 6, также получаем x1=1, что дает характер х2=(1, 1, -1). Наконец, для вектора (2х2¢, -х2¢, 0) получаем

, (30)

откуда х2¢=1.

Заметим, что скалярный квадрат вектора (2х2¢, -х2¢, 0) равен 4x2¢2+2x2¢2=6x2¢2, так как имеется два элемента в классе сопряженных

элементов K2={(1 2 3), (1 3 2)} – этим и вызвано появление множителя 2 в выражении (30). С другой стороны, этот множитель равен размерности неприводимого представления группы S3, так что x3=(2, -1, 0) есть характер двумерного неприводимого представления группы S3. Полученные результаты удобно записать в виде следующей таблицы.

Таблица 5

Характеры неприводимых представлений группы S3=C3V

Таблица 5 – это известная таблица характеров неприводимых представлений группы S3 (см. табл. 2), только в нижней части ее указаны собственные значения матриц C(1), C(2), C(3), которые дают общие собственные векторы этих матриц.

Составив табл. 5, одновременно нашли первую и вторую собственную матрицу P и Q. Матрица, стоящая внизу в таблице, - это первая собственная матрица. Вторую собственную матрицу Q можно получить из соотношения PQ=QP=|G|E или найти с использованием общих правых собственных векторов-матриц Ci. Матрица Q имеет вид (рядом указана транспонированная матрица)