; .

В соответствии с теоремой 1 таблица характеров неприводимых представлений группы S3 находится по формуле

.

Здесь m1=1; m2=1; m3=4, поэтому

,

где в правой части находится таблица неприводимых характеров группы S3, приведенная в верхней части табл. 5.

2.6 Операторы проектирования

1. Операторы проектирования и идемпотенты кольца

Пусть векторное пространство V равно прямой сумме подпространств W и L: . По определению прямой суммы это означает, что каждый вектор vÎV однозначно представим в виде v=w+l, wÎW. lÎL.

Определение 1. Если , так что v=w+l, то отображение , сопоставляющая каждому вектору vÎV его компоненту (проекцию) wÎW, называется проектором пространства V на пространство W. называют также оператором проектирования, или проекционным оператором.

Очевидно, если wÎW, то (w)=w. Отсюда следует, что обладает следующим замечательным свойством 2=Р.

Определение 2. Элемент е кольца K называется идемпотентом (т. е. подобным единице), если е2=е.

В кольце целых чисел есть всего два идемпотента: 1 и 0. Иное дело в кольце матриц. Например, матрицы , , ,- идемпотенты. Матрицы операторов проектирования также идемпотенты. Соответствующие им операторы называются идемпотентными операторами.

Рассмотрим теперь прямую сумму n подпространств пространства V:

.

Тогда аналогично случаю прямой суммы двух подпространств можем получить n операторов проектирования , , …, . Они обладают свойством ==0 при i¹j.

Определение 3. Идемпотенты ei и ej (i¹j) называются ортогональными, если ei ej= ej ei=0. Следовательно, и - ортогональные идемпотенты.

Из того, что IV=V, и из правила сложения линейных операторов следует, что

.

Это разложение называется разложением единицы в сумму идемпотентов.

Определение 4. Идемпотент е называется минимальным, если его нельзя представить в виде суммы идемпотентов, отличных от е и 0.

2. Каноническое разложение представления

Определение 5. Каноническим разложением представления Т(g) называется его разложение вида Т(g)=n1T1(g)+ n2T2(g)+…+ ntTt(g), в котором эквивалентные неприводимые представления Тi(g) объединены вместе, причем ni – кратность вхождения неприводимого представления Ti(g) в разложение T(g).

Теорема 1. Каноническое разложение представления определяется с помощью проекционного оператора вида

, i=1, 2, …, t, (31)

где |G| - порядок группы G; mi – степени представлений Ti(g), где i=1, 2, …, t; ci(g), i=1, 2, …, t – характеры неприводимых представлений Ti(g). При этом mi определяется по формуле

. (32)

3. Проекционные операторы, связанные с матрицами неприводимых представлений групп

С помощью формул (31) можно получить только каноническое разложение представления. В общем случае, надо воспользоваться матрицами неприводимых представлений, которые позволяют построить соответствующие операторы проектирования.

Теорема 2. Пусть - матричные элементы неприводимого представления Tr(g) группы G. Оператор вида

(33)

является оператором проектирования и называется оператором Вигнера. В выражении (33) mr – размерность представления Tr(g).

4. Разложение представления в прямую сумму неприводимых представлений с помощью оператора Вигнера

Обозначим через М модуль, связанный с представлением Т. Пусть неприводимым представлениям Т1, Т2, …, Тt из канонического разложения представления согласно методу, описанному ранее (см. § 4), соответствуют неприводимые подмодули М1, М2, …, Мt. Разложение модуля М вида

(34)

называется каноническим разложением модуля М. Обозначим niMi=Li, так, что

. (35)

Неприводимые подмодули модулей Li обозначим

; i=1, 2, …, t. (36)

Эти модули нам необходимо найти.

Предположим, что задача решена. Следовательно, в каждом из модмодулей Mi(s) (s=1, 2, …, ni) найдена ортонормированная база , в которой оператор представлен матрицей Тi(g) неприводимого представления Т, полученного в результате действия (по правилу из § 3) оператора на базу по формуле

, j=1, 2, …, mi. (37)

В этом выражении можно считать, что mi – размерность неприводимого представления Ti (i=1, 2, …, t), причем - элементы базы с номером g из неприводимого подмодуля Mi. Разместим теперь элементы базы Li при фиксированном i следующим образом:

(38)

Справа в выражении (38) расположены базы модулей Mi(1), Mi(2), …, . Если же i изменять от 1 до t, то получим искомую базу всего модуля М, состоящего из m1n1+ m2n2+…+ mtnt элементов.