C3V={, }+{, }+{, }. (4)

Аналогично левостороннее разложение группы C3V по подгруппе {}2 имеет вид

C3V={, }+{, }+{,}. (5)

Существенно, что левостороннее разложение (5) не совпадает с правосторонним разложением (4).

Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы H конечной группы G является делителем порядка группы G.

Теорема Лагранжа облегчает нахождение подгруппы группы G. Надо искать подгруппы группы G не любых порядков, а порядков, равных делителям порядка группы G. Например, группа C3V имеет порядок 6, а у числа 6 делителями являются числа 1, 2, 3, 6. Мы уже нашли подгруппы группы C3V, имеющие приведенные порядки – это подгруппы {}, {}, {}3={, , } и сама C3V. Подчеркнем, что если число m является делителем порядка группы G, то отсюда не следует, что в группе G есть подгруппа порядка m, т. е. теорема, обратная теореме Лагранжа, не имеет места.

Определение 2. Элементы а и b группы G называются сопряженными, если существует элемент х из группы G такой, что выполняется равенство

a=x-1bx (6)

Например, в группе C3V согласно таблице Кэли этой группы, имеем =-1=, поэтом элементы и сопряжены с помощью элемента .

С помощью понятия сопряженности можно дать классификацию элементов группы G. Обозначим через Kg1, Kg2, …, Kgt все классы сопряженных элементов. Всю группу G можно представить в виде

Kg1+ Kg2+ …+ Kgt=K1+K2+…+Kt=G, (7)

где Kgi=Ki; i=1, 2, …, t – непересекающиеся классы сопряженных элементов.

Найдем эти классы для группы C3V. Очевидно, что единица сама является классом сопряженных элементов, ибо всегда =. Обозначим этот класс R1. Второй класс сопряженных элементов – это {, }, поскольку не сопряжено с и , а других возможностей нет. С помощью таблицы Кэли проверяется, что третий класс сопряженных элементов есть {, , }, в итоге

C3V= K1+K2+K3={}+{, }+{, , } (8)

1.4 Факторизация групп

Пусть дана группа G и два подмножества M и N множества G.

Определение 1. Произведением подмножеств М и N группы G называется множество MN, состоящее из всевозможных произведений mn, где m пробегает множество M, а n – множество N.

Теорема 1. Произведение АВ двух подгрупп А и В группы G будет подгруппой группы G, если А и В перестановочны, т. е. если АВ=ВА.

Рассмотрим примеры. В группе C3V перемножим подгруппы {}3 и {}2. Используя таблицу Кэли для C3V, получаем, что C3V факторизуема: C3V={}3 {}2. По таблице Кэли группы C3V находим {}2{}2={, , , }. Но это не подгруппа группы C3V. Следовательно, согласно теореме должно выполняться неравенство {}2{}2¹{}2{}2. Действительно, перемножая, получим

{}2{}2={, , , }.