Теория симметрии молекул
Проиллюстрируем алгоритм нахождения характеров на примере групп S3.
Необходимо разложить все перестановки группы в произведении циклов. Элементы одинакового циклического строения образуют классы. Выпишем все перестановки группы S3:
; 
; 
; 
;
; 
.
При записи перестановок в циклах, если элемент i переходит в k, то k стоит не под i, а рядом с i; при этом цикле длины 1, кроме e=(1), не пишутся. Таким образом, в циклах e=(1); a=(1 2 3); a2=(1 3 2); b=(2 3); c=(1 3); d=(1 2).
В такой записи наглядно видно циклическое строение группы. Поэтому сразу находим все три класса сопряженных элементов группы S3:
K1={(1)}; K2={(1 2 3), (1 3 2)}; K3={(2 3), (1 2), (1 3)}.
Групповая алгебра CS3 группы S3 состоит из элементов
a=a1e+a2a+a3a2+a4b+a5c+a6d, (23)
где aiÎC; e, a, a2, b, c, d – шесть перестановок, образующих группу S3. Учитывая обозначения перестановок, запишем элементы групповой алгебры, являющиеся суммами элементов классов:
C1=e1; C2=a+a2; C3=b+c+d.
При построении таблицы Кэли группы S3 воспользуемся таблицей группового умножения группы C3V и запишем
=е; 
=а; 
=a2; 
=b; 
=c; 
=d.
Тогда таблица примет следующий вид.
Таблица 3
Квадрат Кэли группы S3
|
S3 |
e |
a |
a2 |
b |
c |
d |
|
e |
e |
a |
a2 |
b |
c |
d |
|
a |
a |
a2 |
e |
d |
b |
c |
|
a2 |
a2 |
e |
a |
c |
d |
b |
|
b |
b |
c |
d |
e |
a2 |
e |
|
c |
c |
d |
b |
a |
e |
a2 |
|
d |
d |
b |
c |
a2 |
a |
e |
Таблица Кэли группы S3 определяет групповую алгебру CS3, в частности, позволяет умножать элементы a из выражения (23).
Переходя к составлению таблицы умножения базисных элементов центра Z групповой алгебры CS3, заметим, что элемент C1 является ее единицей, так что 
, i=1, 2, 3.
Найдем элемент 
:
=(а+а2)(а+а2)=а2+а3+а4=а2+2е+а=2е+а+а2=2С1+С2.
Далее находим 
:
=(b+c+d)(b+c+d)=b2+c2+d2+bc+bd+cb+cd+db+dc=3e+3a+3a2=3C1+3C2.
При этом мы воспользовались табл. 3. Заметим, что в силу принадлежности Ci центру алгебры 
, так что таблица будет симметричной относительно главной диагонали. Поэтому нам осталось найти C2C3:
C2C3=(a+a2)(b+c+d)=ab+a2b+ac+a2c+ad+a2d=d+c+b+d+c+b=2C3.
Используя полученные результаты, запишем таблицу умножения базисных элементов центра групповой алгебры группы S3 (см. табл. 4).
Таблица 4
Таблица умножения базисных элементов центра алгебры CS3.
|
Z |
C1 |
C2 |
C3 |
|
C1 |
C1 |
C2 |
C3 |
|
C2 |
C2 |
2C1+ C2 |
2C3 |
|
C3 |
C3 |
2 C3 |
3 C1+3C2 |
Запишем матрицы C(i):
; 
; 
. (24)
Эти матрицы получаются так. Например, действие элемента С(2) на остальные элементы можно представить следующим образом:
;
;
.
Записывая коэффициенты правой части в столбец, получаем С(2).
Мы построили матричное представление базисных элементов центра Z алгебры CS3, что позволяет получить и матричное представление центра этой алгебры.
Запишем характеристические уравнения для определения собственных чисел и собственных векторов матриц Ci в следующем виде (рассматриваем сначала общий случай d матриц Ci):
