4 Задача планирования туризма

4.1 Постановка задачи

Туристическому агентству «Вояж» предлагают купить билеты в пансионат «Тихий угол» и в туристический комплекс «Турист» для последующей перепродажи. Агентство должно предоставить гидов для посещения местных достопримечательностей. Данные, рассчитанные на одного туриста приведены в таблице 2.

Таблица 2

	Тихий угол	Турист	Ресурсы агентства
Стоимость билета, руб.	2000	4000	180 000
Гид, человек	0,1	0,05	6
Планируемая прибыль, руб.	2000	3000

В рамках заданных ограничений агентство должно принять решение о том, какое количество каждых из билетов следует закупить. Пусть x – количество закупленных билетов пансионата «Тихий угол». Пусть y – количество закупленных билетов туристического комплекса «Турист».

Пусть Р – окончательная прибыль, которую получит агентство. Цель задачи максимизировать прибыль в рамках ограничения на денежные и финансовые ресурсы.

Выразим цель через переменные:

Р = 2000*x+3000*y

Это целевая функция задачи, которая подлежит оптимизации.

Выразим ограничения через переменные:

a)

Денежные ресурсы агентства. Для покупки x билетов пансионата «Тихий угол» и y билетов туристического комплекса «Турист» требуется: 2000*x+4000*y рублей. Максимальное количество денег имеющихся у агентства составляет 180 000 рублей, следовательно затраты на покупку билетов должны быть таковы, чтобы не превышать 180 000 рублей. Таким образом,

2000*x+4000*y ≤ 180000

b) Количество гидов. Как мы можем увидеть из таблицы 2, где дано относительное количество гидов на одного человека, для x туристов пансионата «Тихий угол» и y туристов туристического комплекса «Турист» требуется: 0,1*x+0,05*y гидов. Максимально агентство может предоставить 6 гидов. Для целей задачи мы исключаем возможность найма гидов «со стороны». Таким образом,

0,1*x+0,05*y ≤ 6

Других ограничений нет, однако разумно предположить, что агентство не может купить билеты в отрицательных количествах, поэтому:

c) Условие неотрицательности:

x ≥ 0, y ≥ 0

Окончательная формулировка задачи линейного программирования имеет следующий вид. Максимизировать:

Р = 2000*x+3000*y

при ограничениях:

на денежные ресурсы: 2000*x+4000*y ≤ 180000

на количество гидов: 0,1*x+0,05*y ≤ 6

Решить задачу методом линейного программирования.

4.2 Решение задачи линейного программирования

Проведем прямую 2000*x+4000*y = 180000.

Для определения области, которую следует заштриховать, подставим x = 0 и y = 0 в неравенство: 2000*x+4000*y ≤ 180000

2000*0+4000*0 ≤ 180000

Данное утверждение верно, значит, начало координат принадлежит допустимой области. На рисунке 1 показано графическое изображение неравенства 2000*x+4000*y ≤ 180000.

Рисунок 1

Проведем прямую 0,1*x+0,05*y = 6. Как и в предыдущем ограничении, начало координат принадлежит допустимой области, поэтому следует заштриховать область выше прямой. На рисунке 2 показано графическое изображение неравенства 0,1*x+ 0,05*y ≤ 6

Рисунок 2

На рисунке 3 показано графическое изображение условий неотрицательности переменных. Заштриховываются области, содержащие отрицательные значения каждой переменной.

Рисунок 3

Нанеся все ограничения на график, получим рисунок 4, показывающий графическое изображение ограничений задачи.

Рисунок 4

Область, оставшаяся незаштрихованной для всех ограничений, - это допустимое множество, которое содержит все возможные сочетания билетов, удовлетворяющие данным ограничениям. Рассмотрим алгоритм выбора набора билетов, максимизирующего доход агентства. Целевая функция задачи имеет следующий вид:

Р = 2000*x+3000*y

Если задать Р= 90000 рублей, целевую функцию можно проиллюстрировать графически. Если затем придать Р другое значение, то новая прямая будет параллельна прямой, соответствующей значению Р=90000 рублей.