end while

if Обмен = 1 then

y = y + s2

else

x = x + s1

end if

= + 2 * Dy

next i

finish

Этот алгоритм удовлетворяет самым строгим требованиям. Он имеет приемлемую скорость и может быть легко реализован на аппаратном или микропрограммном уровне.

2.4. Алгоритм Брезенхема для генерации окружностей

В растр нужно разлагать не только линейные, но и другие, более сложные функции. Разложению конических сечений, т. е. окружностей, эллипсов, парабол, гипербол посвящено значительное число работ. Наибольшее внимание, разумеется, уделено окружности. Один из наиболее эффективныхи простых для понимания алгоритмов генерации окружности принадлежит

	Рис. 2.3. Генерация полной окружности из дуги в первом октанте

Брезенхему. Для начала заметим, что необходимо сгенерировать только одну восьмую часть окружности. Остальные её части могут быть получены последовательными отражениями, как это показано на рис. 2.3. Если сгенерирован первый октант (от 0° до 45° против часовой стрелки), то второй октант можно получить зеркальным отражением относительно прямой у = x, что дает в совокупности первый квадрант. Первый квадрант отражается относительно прямой x = 0 для получения соответствующей части окружности во втором квадранте. Верхняя полуокружность отражается относительно прямой у = 0 для завершения построения. На рис.2.3. приведены двумерные матрицы соответствующих преобразований.

Для вывода алгоритма рассмотрим первую четверть окружности с центром в начале координат. Заметим, что если работа алгоритма начинается в точке x = 0, у = R, то при генерации окружности по часовой стрелке в первом квадранте у является монотонно убывающей функцией аргумента x (рис. 2.4). Аналогично, если исходной точкой является y = 0, x = R, то при генерации окруж­ности против часовой стрелки x будет монотонно убывающей функцией аргумента у. В нашем случае выбирается генерация по часовой стрелке с началом в точке x = 0, у = R. Предполагается, что центр окружности и начальная точка находятся точно в точках растра.

Для любой заданной точки на окружности при генерации по часовой стрелке существует только три возможности выбрать следующий пиксел, наилучшим образом приближающий окружность: горизонтально вправо, по диагонали вниз и вправо, вертикально вниз. На рис.2.5 эти направления обозначены соответственно mH, mD, mV. Алгоритм выбирает пиксел, для

	Рис. 2.4. Окружность в первом квадранте		Рис. 2.5. Выбор пикселов в первом квадранте

которого минимален квадрат расстояния между одним из этих пикселов и окружностью, т. е. минимум из

mH = | ( xi + 1 )2 + ( yi )2 – R2 |

mH = | ( xi + 1 )2 + ( yi - 1 )2 – R2 |

mH = | ( xi )2 + ( yi - 1 )2 – R2 |

Вычисления можно упростить, если заметить, что в окрестности точки ( xi, yi ) возможны только пять типов пересечений окружности и сетки растра, приведенных на рис.2.6.

Разность между квадратами расстояний от центра окружности до диагонального пиксела ( xi + 1, yi - 1 ) и от центра до точки на окружности R2 равна

Как и в алгоритме Брезенхема для отрезка, для выбора соответствующего пиксела желательно использовать только знак ошиб­ки, а не её величину.

Рис. 2.6. Пересечение окружности и сетки растра

При D < 0 диагональная точка ( xi + 1, yi - 1 ) находится внут­ри реальной окружности, т. е. это случаи 1 или 2 на рис.2.6. Яс­но, что в этой ситуации следует выбрать либо пиксел ( xi + 1, yi ) т. е. mH, либо пиксел ( xi + 1, yi - 1 ), т. е. mD. Для этого сначала рассмотрим случай 1 и проверим разность квадратов расстояний от окружности до пикселов в горизонтальном и диагональном направ­лениях:

При d < 0 расстояние от окружности до диагонального пиксела

(mD) больше, чем до горизонтального (mH). Напротив, если d > 0, расстояние до горизонтального пиксела (mH) больше. Таким обра­зом,

при d < 0 выбираем mH ( xi + 1, уi )

при d > 0 выбираем mD ( xi + 1, уi – 1 )

При d = 0, когда расстояния от окружности до обоих пикселов одинаковы, выбираем горизонтальный шаг.

Количество вычислений, необходимых для оценки величины d, можно сократить, если заметить, что в случае 1

так как диагональный пиксел ( xi + 1, уi – 1 ) всегда лежит внутри окружности, а горизонтальный ( xi + 1, уi ) - вне ее. Таким образом, d можно вычислить по формуле

Дополнение до полного квадрата члена ( yi )2 с помощью добавления и вычитания - 2уi + 1 дает

В квадратных скобках стоит по определению Di, и его подстановка

d = 2(Di + yi) – 1

существенно упрощает выражение.

Рассмотрим случай 2 на рис.2.6 и заметим, что здесь должен быть выбран горизонтальный пиксел ( xi + 1, уi ), так как у являет­ся монотонно убывающей функцией. Проверка компонент d показывает, что

поскольку в случае 2 горизонтальный ( xi + 1, уi ) и диагональный ( xi + 1, уi – 1 ) пикселы лежат внутри окружности. Следовательно, d < 0, и при использовании того же самого критерия, что и в слу­чае 1, выбирается пиксел ( xi + 1, уi ).