Прогнозную экстраполяцию можно разбить на два этапа.

Выбор оптимального вида функции, описывающей ретроспективный ряд данных. Выбору математической функции для описания тренда предшествует преобразование исходных данных с использованием сглаживания и аналитического выравнивания динамического ряда. Расчет коэффициентов функции, выбранной для экстраполяции.

Под трендом понимается характеристика основной закономерности движения во времени, в некоторой мере свободной от случайных воздействий. При разработке моделей прогнозирования тренд оказывается основной составляющей прогнозируемого временного ряда, на которую уже накладываются другие составляющие. Результат при этом связывается исключительно с ходом времени. Предполагается, что через время можно выразить влияние всех основных факторов. В статистической литературе под тенденцией развития понимают некоторое его общее направление, долговременную эволюцию. Обычно тенденцию стремятся представить в виде более или менее гладкой траектории [9].

Для оценки коэффициентов чаще остальных используется метод наименьших квадратов (МНК).

Его сущ­ность состоит в минимизации суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми величинами и соответствующими оценками (расчетными величинами), вычисленными по подобранному уравнению связи.

(2.1)

где - расчетные значения тренда;

y – фактические значения ретроспективного ряда;

n – число наблюдений.

Этот метод лучше других соответствует идее усреднения как единичного влияния учтенных факторов, так и общего влияния неучтен­ных.

Операцию экстраполяции в общем виде можно представить в виде определения значения функции

(2.2)

где - экстраполируемое значение уровня;

L – период упреждения;

- уровень, принятый за базу экстраполяции.

Под периодом упреждения при прогнозировании понимается отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз.

Экстраполяция на основе средней.

В самом простом случае при предположении о том, что средний уровень ряда не имеет тенденции и к изменению или если это изменение незначительно, можно принять т. е. прогнозируемый уровень равен среднему значению уровней в прошлом. Доверительные границы для средней при небольшом числе наблюдений определяются следующим образом:

(2.3)

где ta – табличное значение t- статистики Стьюдента с n-1 степенями свободы и уровнем вероятности p;

- средняя квадратическая ошибка средней.

Значение ее определяется по формуле . В свою очередь, среднее квадратическое отклонение S для выборки равно

(2.4)

Доверительный интервал, полученный как , учитывает неопре­деленность, которая связана с оценкой средней величины. Общая дисперсия (связанная как с колеблемостью выборочной средней, так и с варьированием индивидуальных значений вокруг средней) составит величину . Таким образом, доверительные интервалы для прогностической оценки равны

(2.5)

Недостаток рассмотренного подхода заключается в том, что дове­рительный интервал не связан с периодом упреждения.

Экстраполяция по скользящей и экспоненциальной средней.

Для краткосрочного прогнозирования наряду с другими приемами могут быть применены адаптивная или экспоненциальная скользящие средние. Если прогнозирование ведется на один шаг вперед, то или , где Мi - адаптивная скользящая средняя; Qi - экспоненциальная средняя. Здесь доверительный интервал для скользящей средней можно определить аналогично тому, как это было сделано в формуле (2.5), в которой число наблюдений обозначено символом n. Поскольку при расчете скользящей средней через m обозначалось число членов ряда, участвующих в расчете средней, то заменим в этой формуле n на m. Так как m обычно берется равной нечетным числам, то подсчи­таем для них соответствующие значения величины . Что ка­сается экспоненциального сглаживания, то, так как дисперсия экспо­ненциальной средней равна , где S2 - среднее квадратическое отклонение, вместо величины в формуле, приведенной выше, при исчислении доверительного интервала прогноза следует взять величину или . Здесь — коэффициент экспоненциального сглаживания.

Корреляционный анализ используют для выявления и оценки связи между различными показателями. Степень тесноты связи оценивают коэффициентами, изменяющимися в пределах от 0 до 1, по следующей формуле:

(2.6)

Малое значение коэффициента свидетельствует о слабой связи, значение, близкое к 1, характеризует очень сильную связь и часто позволяет предположить наличие функциональной причинно-следственной связи. Затем проверяют значимость коэффициента корреляции по критерию Стьюдента tj,k:

(2.7)

где k=n-2 – число степеней свободы.

При выполнении неравенства t*>yj,k гипотеза о не значимости коэффициента парной корреляции отвергается, т.е. yt зависит от фактора времени. Затем выбирают математическую модель взаимосвязи показателя от времени и рассчитывают критерии точности полученной модели.

(2.8)

(2.9)

(2.10)

где - средняя относительная ошибка;

- корреляционные отношения;

S2 – остаточная дисперсия;

- среднеквадратическое отклонение, рассчитанное по формуле: