Величина уплачиваемых за пользование ссудой процен­тов зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней определяется по таблице с номерами дней года:

206—25 == 181 дн. Приближенное число дней ссуды равно: 5 дней января (30—25) +150 (по 30 дней пяти месяцев: февраль, март, апрель, май, июнь) + 25 (июль) = 180 дн.

Возможные варианты возврата долга:

1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды:

S = 5 • (1 + 181:365 • 0,6) = 6,487 млн.руб.

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней:

S = 5 • (1 + 181:360 • 0,6) = 6,508 млн.руб.

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и прибли­женное число дней:

S = 5 • (1 + 180:360 • 0,6) = 6,5 млн.руб.

Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера, для оценки которой используются рассмотренные формулы, является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются дисконтной ставкой. Одна из причин состоит в том, что векселя могут оформляться по-разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению, т.е. с величиной FV. Схема действий в этом случае может быть следу­ющей. Владелец векселя на сумму FV предъявляет вексель банку, который соглашается его учесть, т.е. купить, удерживая в свою пользу часть вексельной суммы, которая нередко также называ­ется дисконтом. В этом случае банк предлагает владельцу сумму (PV), исчисляемую исходя из объявленной банком ставки дискон­тирования (d). Очевидно, что чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Расчет предоставляемой банком суммы ведется по формуле:

PV == FV* (1 —f*d), или PV = FV • (1 —t/T*d),

где f — относительная длина периода до погашения ссуды (отметим, что опера­ция имеет смысл, когда число в скобках не отрицательно).

Пример

Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 5 млн. руб. со сроком погашения 28.09.1997 г. Вексель предъявлен 13.09.1997 г. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 75% годовых. Тогда сумма, которую векселедержатель может полу­чить от банка, рассчитывается по формуле (4.6) и составит:

PV = 5 • (1 —15:360 • 0,75) = 4,844 млн.руб.

Разность между величинами FV и PV представляет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу, за предо­ставленную услугу; в данном примере она составила 156 тыс. руб.

3.4. Внутригодовые процентные начисления

В практике выплаты дивидендов нередко оговаривается вели­чина годового процента и частота выплаты. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки по формуле:

Fn =P*(1+r/m)k*m

где r—объявленная годовая ставка;

m—количество начислений в году;

k—количество лет.

Пример: Вложены деньги в банк в сумме 5 млн. руб на два года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начисление процентов производится четыре раза по ставке 10% (20% : 2), а схема возрастания капитала будет иметь вид:

Если воспользоваться приведенной формулой, то m = 2, k = 2, следо­вательно:

Fn = 5 * (1+20%/100%/2)4 = 7,3205 млн. руб.

Пример: В условиях предыдущего примера проанализировать, изме­нится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если бы проценты начислялись ежеквартально.

В этом случае начисление будет производиться восемь раз по ставке 5% (20%: 4), а сумма к концу двухлетнего периода сос­тавит:

Fn = 5 • (1 + 0,05)8 = 7,387 млн.руб.

Таким образом, можно сделать несколько простых практичес­ких выводов:

· при начислении процентов: 12% годовых не эквивалентно 1% в месяц (эта ошибка очень распространена среди начинающих бизнесменов);

· чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

3.5. Начисление процентов за дробное число лет

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, за­ключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

· по схеме сложных процентов:

Fn = P * (1+r)(w+f)

· по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов — для дробной части года):

Рn=Р*(1+r)w*(1+f*r),

Поскольку f< 1, то (1 + f*г) > (1 + г)f, следовательно наращен­ная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление про­центов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продо­лжительность общего периода действия контракта не равна це­лому числу подпериодов. В этом случае также возможно исполь­зование двух схем:

а) схема сложных процентов:

Fn=P•(l+г/m)m*k•(l+r/m)f

б) смешанная схема:

Fn = Р*(1 + r/m) m*k * (1 + f*r),

где k — количество лет;

m - количество начислений в году;

r — годовая ставка;

f — дробная часть подпериода.

Пример: Банк предоставил ссуду в размере 120 млн. руб. на 27 месяцев (т.е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

а) в этом случае продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т.е. года. Поэтому воз­можно применение любой из схем, характеризуемых формулами, приведенными выше, и значениями соответствующих параметров: w = 2; f=0,25;r= 16%.

При реализации схемы сложных процентов:

Fn = Р-(1 + r)w+f= 120 *(1 + 0,16)2.25 = 167,58 млн. руб.

При реализации смешанной схемы: