- собственно примитивная форма дискриминанта и - любой нечетный простой делитель числа и , - два числа, представляемых формой и не делящихся на . Подстановка определителя переводит в форму (см. соотношения (3) §1), причем , откуда , т.е. в силу определения символа Лежандра имеем . Из этого равенства в очередь на основании свойств 3 и 4следует, что . Итак, символ Лежандра имеет одно и то же значение для всех чисел , представляемых формой . Выпишем эти символы Лежандра, которые все равны или для всех указанных модулей , взятых в определенном выбранном порядке. Тогда для данной квадратичной формы получается некоторая определенная последовательность чисел, равных . Эта последовательность чисел, равных и называется характером рассматриваемой собственно примитивной бинарной квадратичной формы дискриминанта или характером класса этой формы.

Так как число всех различных последовательностей, составленных из членов, равных или равно , то число различных характеров форм данного дискриминанта, а следовательно и число родов не больше, чем . Чтобы решить вопрос о точном числе родов Гаусс вводит в рассмотрение операции композиции классов и композиции родов квадратичных форм. Не вдаваясь в эту сложную теорию Гаусса, мы приведем его результаты о числе родов и о числе классов в каждом роде.

Теорема 1 (Гаусс). Число родов бинарных квадратичных форм в данном собственно примитивном порядке дискриминанта равно , где определяется следующими условиями:

при ,

при ,

при ,

при этом - число различных простых делителей числа .

Теорема 2 (Гаусс). Каждый род собственно примитивного порядка содержит одно и то же число классов, т.е.

,

где - число всех классов, - число классов в каждом роде и -число родов.

Перейдем теперь после такого предварительного обсуждения к изложению результатов данного параграфа. Следующая теорема устанавливает существование неэквивалентных диагональных квадратичных форм данного дискриминанта.

Теорема 3. Диагональная форма дискриминанта не эквивалентна никакой другой диагональной форме того же дискриминанта.

Доказательство. Допустим, что диагональная форма

(1)

дискриминанта собственно эквивалентна другой диагональной форме

(2)

того же дискриминанта . Тогда найдется целочисленная унимодулярная подстановка , которая переводит форму в форму .

Имеем

(3)

где

(4)

Подставляя (3) в (1), получим

.

Но так как, мы требуем, чтобы форма была тоже диагональной, то

. (5)

Тогда форма перепишется в следующем виде

. (6)

Далее, так как имеет тот же дискриминант, что и форма , то

, (7)