Так как в силу предложения 5 §1 число всех целочисленных приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с заданным дискриминантом конечно, то в бесконечном ряду форм ,,,,… не все формы могут быть различными между собой. Если предположить, что и совпадают, то формы и будут приведенными соседними слева для одной и той же приведенной формы и потому будут совпадать. Поэтому и и т.д. будут совпадать. Следовательно, в ряду ,,,… обязательно повторится первая форма и если - первая форма в этом ряду, совпадающая с , то все формы ,,,,…, различны между собой.

Определение 2. Совокупность различных последовательных соседних приведенных неопределенных форм ,,,…, называется периодом формы .

Приведем несколько общих замечаний об этих периодах, следующих из их определения (см. [2]).

Предложение 2. Если формы ,,,… представлены следующим образом

, , ,…,, , ,…, то все величины будут иметь одинаковые знаки, причем все будут положительны.

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 3. Количество квадратичных форм, из которых состоит период заданной формы всегда четно.

Доказательство предложения 3 см. [1,2].

Заметим, что каждая форма , которая содержится в периоде формы будет иметь тот же период, что и .Именно, этот период будет таков:

.

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 4. Все целочисленные неопределенные бинарные квадратичные формы с одинаковым дискриминантом могут быть разбиты на периоды.

Доказательство (см. [2] разд. V, п.187) основано на том их свойстве, что периоды либо совпадают либо они попарно не пересекаются и каждая форма попадет только в один из периодов.

Пример. Все приведенные неопределенные формы с дискриминантом разбиваются на следующие шесть периодов:

I. ;

II. ;

III. ;

IV. ;

V. ;

VI. .

Видим что в каждом периоде содержится четное число приведенных форм: в периодах I и II по четыре формы, а в остальных периодах по шесть форм.

Особы интерес представляют так называемые обратные и двусторонние формы, показывающие наряду с гауссовой композицией форм глубокий смысл различия собственной и несобственной эквивалентностью целочисленных бинарных квадратичных форм.

Определение 3. Формы и , и их классы называются обратными: если - один из этих классов, то другой класс будет обратным к классу в смысле композиции классов.

Замечание. Так как форма переводится в форму подстановкой определителя , то каждая форма класса несобственно эквивалентна каждой форме из обратного класса и обратно, при несобственной эквивалентности двух форм их классы будут обратными. (при этом еще учитывается, что если форма несобственно эквивалентна , а собственно эквивалентна , то несобственно эквивалентна ).