Но последние два неравенства не могут одновременно выполняться. Значит, наше допущение, что неверно и мы получаем неравенства . Наконец, покажем, что

и .

Т.к. , то из неравенств (*) и (**) получаем . С учетом этих неравенств и равенства , мы получим и неравенства для .

Обратно, система неравенств

или

характеризует приведенность неопределенной формы . Поэтому определению приведенной формы можно придать следующий вид. Определение 8. Бинарная квадратичная форма дискриминанта называется приведенной, если

или

Без доказательства приведем следующее свойство приведенных форм.

Предложение 4. Каждая форма дискриминанта собственно эквивалентна некоторой приведенной форме.

Доказательство см. [1,2]. В [1] используется аппарат непрерывной дроби, а в [2] понятие соседней формы.

Определение 9. Целочисленная квадратичная форма называется собственно примитивной, если наибольший общий делитель ее коэффициентов равен , т.е.

НОД и несобственно примитивной, если

НОД . В остальных случаях форма называется не примитивной.

Определение 10. Пусть - наибольший общий делитель чисел для формы определителя . Множество бинарных квадратичных форм с одними и теми же и (при ) с одним и тем же знаком крайних коэффициентов называется порядком форм.

Так как и знаки получающихся коэффициентов при не меняются при переходе от данной формы к эквивалентной ей форме, то порядок состоит из нескольких классов.

При формы и порядок называются собственно примитивными, а при и ()- несобственно примитивными. Собственно и классы форм называются собственно примитивными и несобственно примитивными.

Возникает вопрос: конечно или бесконечно число целочисленных приведенных неопределенных форм. Ответ дает следующее.

Предложение 5. Число всех целочисленных приведенных неопределенных форм с заданным дискриминантом конечно.

Доказательство см. [2,п.185].

§2. О периодах неопределенных бинарных квадратичных уравнений

Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм наличием периодов приведенных форм. Гаусс первым обнаружил это явление и глубоко вник в природу приведенных форм с положительным неквадратным дискриминантом в связи с решением основных задач этой теории (см. [1,2]). В этом параграфе мы дадим основные свойства периодов неопределенных форм.

Нашему изложению мы сначала предпошлем те основные понятия из гауссовой теории квадратичных форм, которые нам понадобятся в дальнейшем (см. [1,2]).

Определение 1. формой соседней справа к целочисленной форме называется форма , которая получается из формы подстановкой , где -некоторое целое число.

Заметим, что при такой подстановке форма собственно эквивалентна форме . Зависимость между соседними формами и можно охарактеризовать так: во-первых, формы и имеют одинаковый дискриминант; во-вторых, последний коэффициент формы является вместе с тем первым коэффициентом формы ; в третьих, сумма их средних коэффициентов делится на .

Аналогичным образом определяется соседняя слева форма к форме .

Из определения соседних форм непосредственно следует

Предложение 1. Соседние формы собственно эквивалентны.

С помощью процесса нахождения последовательных соседних форм мы придем к другому важному понятию периода приведенных форм. Именно, пусть -приведенная форма дискриминанта и для нее является соседней справа; для форма является соседней справа; для форма является соседней справа и т.д. Тогда все формы ,,,…, являются собственно эквивалентными между собой, так и форме .