Определение 4. Класс бинарных квадратичных форм, совпадающий с обратным, называется двусторонним классом.

Из этого определения с учетом сделанного выше замечания получается

Предложение 5. Каждая форма двустороннего класса несобственно эквивалентна самой себе.

Доказательство. Пусть - двусторонний класс и . Покажем, что несобственно эквивалентна самой себе. Обозначим .

Тогда форма и пусть переводится в подстановкой и запишем это в следующем виде: . Т.к. - двусторонний класс, т.е. , то . Но так как , то и собственно эквивалентны, то найдется подстановка определителя , что . Тогда получаем , т.е. . Но так как , то форма несобственно эквивалентна самой себе.

Предложение 5 доказано.

Определение 5. Форма , в которой делится на , называется двусторонней.

Следующие два предложения дают некоторую информацию о строении двусторонних классов.

Предложение 6. В каждом двустороннем классе содержится по крайней мере одна двусторонняя форма.

Предложение 7. В каждом двустороннем классе положительного дискриминанта содержатся две и только две приведенные двусторонние формы.

Доказательство этих предложений имеются в [1,2].

Перейдем теперь к изложению основных результатов этого параграфа. Возникает еще вопрос: всегда ли двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу. Ответ дает следующая теорема

Теорема 1. Каждая двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу .

Доказательство. Пусть - двусторонняя форма, т.е. ( делится на ) и обозначим ее класс через . Покажем, что -двусторонний класс. По определению обратная к форме . Так как , то форма переводится в себя подстановкой . Далее имеем, что переводится в подстановкой

определителя 1, т.е. и собственно эквивалентны. Тогда они принадлежат одному и тому же классу, т.е. и значит, - двусторонний класс.

Теорема 1 доказана.

В связи с предложением 7 возникает еще следующий вопрос: могут ли быть в периоде форм двустороннего класса приведенные двусторонние формы соседними друг другу? Следующее утверждение дает необходимое условие того, что двусторонние приведенные формы будут соседними.

Теорема 2. Для того чтобы двусторонние примитивные приведенные формы и из двустороннего класса дискриминанта были соседними необходимо, чтобы , где - целая часть числа .

Доказательство. Пусть формы и соседние. Тогда , где - некоторое целое число. Так как и - двусторонние формы, то и , где последнюю делимость можно заменить следующим условием: или что тоже самое , откуда . Тогда в силу взаимной простоты и (это следует из примитивности формы ) из условий делимости и следует, что . Но так как , то или что тоже самое . Из последнего условия делимости следует неравенство , откуда . Но так как форма приведенная, то для числа должны выполняться неравенства , из которых в свою очередь следует, что .