а) элемент zT принадлежит его области определения;

б) для всякого числа d>0 множество F1,d элементов z из F1 , для которых

W[ z ]<=d, компактно на F.

3.2.2. Итак, рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических уравнений (короче — СЛАУ)

Аz =u, (3; 2,2)

в которой z и u—векторы, z=(z1, z2, .,zn) ÎRn, и=(u1,u2, .,un) ÎRm, А—матрица с элементами aij, А = {aij}, где j =1, 2, ., n; i= 1, 2, ., т, и число п не обязано быть равным числу т.

Эта система может быть однозначно разрешимой, вы­рожденной (и иметь бесконечно много решений) и не­разрешимой.

Псевдорешением системы (3; 2,2) называют вектор z, минимизирующий невязку || Az – u || на всем пространстве Rn. Система (3; 2,2) может иметь не одно псевдоре­шение. Пусть FA есть совокупность всех ее псевдореше­ний и z1 — некоторый фиксированный вектор изRn, оп­ределяемый обычно постановкой задачи.

Нормальным относительно вектора z1 решением си­стемы (3;2,2) будем называть псевдорешение z0 с ми­нимальной нормой || z – z1 ||, т. е. такое, что

|| z0 – z1 || =

Здесь . В дальнейшем для простоты записи будем считать z1= 0 и нормальное относительно вектора z1=0 решение называть просто нормальным ре­шением.

Для любой системы вида (3; 2,2) нормальное решение существует и единст­венно.

Замечание 1. Нормальное решение z° системы (3;2,2) можно определить также как псевдорешение, минимизирующее заданную положительно определенную квадратичную форму относительно координат вектора z—z1. Все излагаемые ниже результаты остаются при этом справедливыми.

Замечание 2. Пусть ранг матрицы А вырожден­ной системы (3; 2,1) равен r < n и zr+1,zr+2, … , zn— базис линейного пространства NA, состоящего из элемен­тов z, для которых Аz=0, NA = {z; Аz= 0}. Решение z° системы (3; 2,1), удовлетворяющее n—r условиям ортогональности

(z0 – z1, zS)= 0, S= r + 1, r + 2, ,n, (3; 2,3)

определяется однозначно и совпадает с нормальным ре­шением.

3.2.3. Нетрудно видеть, что задача нахождения нормаль­ного решения системы (3; 2,2) является некорректно поставленной. В самом деле, пусть А — симметричная матрица. Если она невырожденная, то ортогональным преобразованием

z = Vz*, u = Vu*

ее можно привести к диагональному виду и преобразо­ванная система будет иметь вид

lizi*=ui* , i= 1, 2,. , п,

где li — собственные значения матрицы А.

Если симметричная матрица А — невырожденная и имеет ранг r, то n – r ее собственных значений равны нулю. Пусть

li¹0 для i=1, 2, ., r;

и

li=0 для i=r+1,r+2, …, n.

Полагаем, что система (3; 2,2) разрешима. При этом ui*= 0 для i =r + 1, ., n.

Пусть «исходные данные» системы (А и и) заданы с погрешностью, т. е. вместо А и и заданы их прибли­жения А и u:

|| A – A ||<=h, ||u – u||<=d . При этом

(3;2,4)

Пусть li — собственные значения матрицы А. Извест­но, что они непрерывно зависят от А в норме (3; 2,4). Следовательно, собственные значения lr+1 , lr+2, …,ln могут быть сколь угодно малыми при достаточно малом h.

Если они не равны нулю, то

zi*=.

Таким образом, найдутся возмущения системы в пре­делах любой достаточно малой погрешности А и и, для которых некоторые zi* будут принимать любые наперед заданные значения. Это означает, что задача нахожде­ния нормального решения системы (3; 2,2) является неустойчивой.

Ниже дается описание метода нахождения нормального решения системы (3; 2,2), устойчивого к малым (в норме (3; 2,4)) возму­щениям правой части и , основанного на методе регуляризации.

3.3. Метод регуляризации нахождения нормального решения

3.3.1. Пусть z° есть нормальное решение системы

Аz = и. (3; 3,1)

Для простоты будем полагать, что прибли­женной может быть лишь правая часть, а оператор (матрица) А — точный.

Итак, пусть вместо и мы имеем вектор и, || и — и || <=d ; т. е. вместо системы (3;3,1) имеем систему

Требуется найти приближение zd к нормальному реше­нию системы (3;3,1), т. е. к вектору z° такое, что zd àz° при d à0. Отметим, что векторы u и u (один из них или оба) могут не удовлетворять классическому ус­ловию разрешимости.

Поскольку система (3; 3,1) может быть неразреши­мой, то inf ||Az-u|| = m >=0, где inf берется по всем векторам z Î Rn.

Естественно искать приближения zd в классе Qd век­торов z, сопоставимых по точности с исходными данны­ми, т. е. таких, что || Az – u ||<=m+d. Но поскольку вместо вектора u мы имеем вектор u, то мы можем найти лишь

m=inf || Az – u ||.

zÎ Rn

Отметим, что из очевидных неравенств

||Az – u ||<=||Az – u || + || u – u || ,

||Az – u ||<= || Az – u || + ||u – u ||

следуют оценки m<=m+d, m<=m+d, приводящие к не­равенству | m — m | <=d. Поэтому будем искать прибли­жение zd к нормальному решению z° в классе Qd векто­ров z, для которых || Аz — и || <=m +2d. Отметим, что если имеется информация о разрешимости системы (3;3,1), то m = 0 и в качестве класса Qd можно брать класс векторов z, для которых || Аz — и|| <= d. Класс Qd есть класс формально возможных приближенных решений.

Но нельзя в качестве zd брать произвольный вектор из класса Qd, так как такое «приближение» будет неустойчивым к малым изменениям правой части уравнения (3;3,2). Необходим принцип отбора. Он естественным образом вытекает из постановки задачи. В самом деле согласно определению нормального решения искомое ре­шение z° должно быть псевдорешением с минимальной нормой. Поэтому в качестве приближения к z° естествен­но брать вектор zd из Qd, минимизирующий функционал

W[ z ] = ||z||2 на множестве Qd .

Таким образом, задача сводится к минимизации функ­ционала W[ z ] = ||z||2 на множестве Qd векторов z, для которых выполняется условие || Аz — u || <=m +2d.

3.3.2. Пусть zd — вектор из Qd, на котором функционал ||z||2 достигает минимума на множестве Qd. Его можно рассматривать как результат применения к правой части u уравнения (3; 3,2) некоторого оператора R1(u, d), зависящего от параметра d. Справедлива

Теорема 1. Оператор R1(u, d) обладает следующи­ми свойствами:

1) он определен для всякого uÎRm и любого d > 0;

2) при d à0 zd== R1(u, d) стремится к нормальному решению z° уравнения Аz=u, т. е. он является регуляризирующим для уравнения Аz=u .

3.3.3. Пусть zd — вектор, на котором функционал W[ z ] = ||z||2 достигает минимума на множестве Qd. Легко ви­деть из наглядных геометрических представлений, что вектор zd лежит на границе множестваQd,т.е. ||Azd - u ||=m +2d =d1.