4. Не должно быть несогласованности и с директивными нормами организации работы общеобразовательной школы. Например, нельзя часы, отведенные на факультативные занятия, использовать для внеклассной работы или дополнительных занятий по математике (хотя бы потому, что не предусмотрено финансированием школы и противоречит идее факультативных курсов как занятий по выбору и интересам учащихся).

5. Главным критерием эффективности взаимосвязанного построения урока, внеклассных и факультативных занятий по математике должна быть в конечном счете результативность неразрывно связанных друг с другом процессов обучения, развития и воспитания школьников.

6. Поскольку результативность учебно-воспитательного процесса зависит главным образом от “массовости” занятий, то преемственность и взаимосвязь уроков и факультативных занятий должны рассматриваться в такой последовательности: уроки математики – внеклассные занятия – факультативные занятия. Самая массовая форма обучения – уроки – главное звено этой цепи. Факультативные занятия не могут охватить всех учащихся, а отдельные внеклассные мероприятия – могут (математические вечера, например) Поэтому внеклассные занятия по массовости занимают второе место. Следует отметить, что каждое последующее звено должно рассматриваться с учетом завершения задач, возложенных на предыдущее звено (на предыдущие звенья – для факультативных занятий).

7. Каждая из форм обучения: уроки и факультативные занятия, имеют свою ценность, у них есть свои специфические задачи. Именно эти задачи должны определять “обратные” требования к каждому предыдущему звену цепи “уроки – внеклассная работа – факультативные занятия”, например, с учетом пропедевтики, с учетом выполнения задач последующего звена (последующих звеньев – для уроков математики). Педагогический анализ намеченной в п.6 по содержанию методам и средствам обучения на уроках и факультативных занятьях по математике целесообразно проводить учитывая их функции – развивающую, воспитывающую и учебную.

Раскроем теперь некоторые вопросы и дискретирующие факультативные курсы. Здесь важно заметить, что одна из задач возложенная на факультативные курсы улучшать подготовку учащихся к приемным экзаменам в высшие и средние специальные учебные заведения. Но если эта задача становится главной, то занятия сводятся к прямому натаскиванию (в форме решения многочисленных задач, предлагавшихся на приемных экзаменах в различные вузы.) Это дискредитирует саму идею факультативных курсов, занятия к тому же мало эффективны. Иное дело, если учитель организует предварительную самостоятельную работу учащихся (вне занятий) по решению задач, а на факультативных занятиях вместе со школьниками определяет наиболее рациональную методику поиска решения, устанавливает границы применимости того или иного метода решения, учит предупреждать наиболее типичные ошибки в решении, в его записи и обосновании, в оформлении чертежа к задачи, учит находить эффективные приемы самоконтроля, сопоставлять различные способы решения одной и той же математической задачи, оценив их достоинства и недостатки. В этом случае сознательное и глубокое усвоение содержания, идей, методов школьного курса является в то же время лучшей подготовкой к приемным экзаменам в высшие и средние учебные заведения. Отсюда:

Рекомендация (курсов): критерии совершенствования содержания и методики факультативного курса должен быть комплексный. Он заключается в учете и всесторонней оценки всего педагогического, психологического и математического единства то есть в содержании, формах и методах организации, которыми должны быть связанны учебные работы и факультативные занятия.

Учителя и методисты большое значение придают вопросам организации самостоятельной работы учащихся в процессе факультативных занятий. Учителя считают важным для формирования устойчивого интереса учащихся к изучению математики обеспечить взаимосвязь (по содержанию) уроков и факультативных занятий. Один из эффективных приемов это показ новых идей и методов в действии, в применении к задачам, которые “программными” методами решаются гораздо сложнее. Это можно рассматривать как рекомендацию для успешного функционированию факультатива. Здесь также необходимо заметить, что критерии отбора содержания занятий и организации активной познавательной деятельности учащихся, нельзя устанавливать, учитывая только одну какую либо цель факультативных занятий. Например, было бы ошибочно для всестороннего математического развития учащихся и формирования представления о единстве методов математики изучать только алгебраический материал, оставляя за рамками факультатива элементы геометрии (и наоборот). Это дискредитирует всестороннее развития математического мышления учащихся, а это как известно одна из целей факультативных курсов. Поэтому здесь необходимо обеспечить на факультативных занятиях взаимосвязь алгебры и геометрии и других математических наук.

Активизация самостоятельной работы учащихся присуща урокам математики. Очевидно, это может быть принято также и на факультативных занятиях. Можно использовать такие виды самостоятельной работы, как доклады учащихся и их обсуждение, подготовка рефератов, изготовление наглядных пособий, чтение математической литературы. В условиях занятий учителя с группой учащихся большое значение приобретает умение учителя активизировать самостоятельную математическую деятельность учащихся, рационально сочетать свои вопросы, задания, объяснение их индивидуальной и совместной учебной работой. Таким образом, активизация самостоятельной работы учащихся – необходимое комплексное условие повышения эффективности методов обучения на факультативных занятиях.

Самостоятельная работа эффективна при выполнении двух условий: контроль со стороны учителя, самоконтроль и оказание своевременной помощи отстающим. Это подтверждает требование преемственности для средств обучения. Опыт показывает на факультативных занятиях можно применять такие современные средства обучения, как предметные модели, математические книги (на уроках - это прежде всего учебники), дидактические материалы с печатной основой и т.п., такие технические средства как кинопроекторы, кодоскопы, тренажеры и другие обучающие устройства. Преимущества использования таблиц, плакатов, других обучающих материалов перед “меловым” способом обучения, когда все графические изображения даются учителем на доске в ходе урока путем весьма нерационального использования учебного времени, по видимому, не нуждаются в подробном обосновании. Бесспорное здесь – прежде всего увеличение темпа изучения нового материала и значительное повышение эффективности совместной работы учителя и учащихся).

Многие учителя успешно используют на факультативных занятиях, во время лекции, конспект - таблицы основанные на системе В.Ф. Шаталова. В.Ф. Шаталов и его последователи используют в качестве конспектов листы опорных сигналов, составленные из нескольких блоков. Некоторые математические предложения в этих конспектах заменяются ключевыми словами или рисунками, вызывающими необходимые ассоциации только у тех, кто слушал объяснение. Приветствуя в целом идею опорных сигналов, отметим все же, что они, как и любые конспекты, сковывают инициативу учителя, ибо прежде всего отражают индивидуальность автора. Преподавание будет более эффективным и интересным, если учителя станут сами составлять краткие записи, отражающие основные этапы изложения нового.