(8) f (n-1)T,T = f[nT,0]

Конечные разности решетчатых функций.

Выражение Δf[n]=f[n+1]-f[n] (9) называется разностью первого порядка решетчатой функции f[n]

Δ2f(n)=Δ f[n+1]- Δf[n]- вторая разность

Δkf(n)=Δk-1f[n+1]- Δk-1f[n]- к-тая разность

Выражение значения решетчатой функции через ее конечные разности до порядка l включительно:

l

(10) f[n+l]= ∑ (kl) Δkf[n]; где (kt)=l!/k!(l-k)

k=0

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ .

Всякое соотношение, связывающую решетчатую функцию x[n] и ее разности до некоторого порядка K:

(11) Ф[n, x[n], Δ x[n], , Δkx[n] =0, называется разностным уравнением. Соотношение (11) можно записать:

(12) Ф[n,x[n],x[n+1],x[n+2], .,x[n+k]=0, уравнение порядка K.

Рассмотрим пример.

(13) Δ3x[n]+ Δ2x[n]+2Δx[n]+2x[n]=f[n]

(13) можно переписать x[n+3]-2x[n+2]+3x[n+1]=f[n], если m=n+1, тогда:

(14) x[m+2]-2x[m+1]+3x[m]=f[m-1]

Таким образом, уравнение (13) является уравнением второго порядка.

Решетчатая функция x[n], которая обращает уравнение в тождество, называется решением разностного уравнения. Решение разностного уравнения (РУ) определяется наиболее просто, если (РУ) порядка К можно разрешить относительно функции x[n+k], т.е представить в виде:

(15) x[n+K]= F[n,x[n],x[n+1], .,x[n+k-1]]

Зададим К начальных условий при некотором значении аргумента n=n0: x[n0]=x0, x[n0+1]=x1, ., x[n0+K-1]=xk-1

Соотношение (15) определяет по заданным начальным условиям значение решения при n=n0+K. Используя значение x[n0+K], вычислим последовательно x[n0+K+1], x[n0+K+2] и все остальные x[n] при n≥n0+K.

Решение РУ (15) x[n]= ℰ[n,x0, x1, .,xk-1].

Рассматриваемая начальные условия мы получим общее решение уравнения (15) как функцию К произвольных постоянных C0,C1, ,Ck-1

(16) x[n]=ℰ[n,C0,C1, .,Ck-1]

Линейное РУ порядка К:

(17) a0[n]Δrx[n]+a1[n]Δr-1x[n]+ +ar[n]x[n]=f[n]

где r≥K, f[n], a0[n], a1[n], . ,ar[n] - заданные решетчатые функции. Данное уравнение называется неоднородным РУ, если правая часть f[n]≠0, в противном случае это уравнение однородно.

Если решетчатые функции ℰ1[n], . , ℰl[n] являются решением линейного однородного РУ:

x[n+K]+b1[n]x[n+K-1]+ . +bk[n]x[n]=0, то функция

l

ℰ[n]= ∑ Ciξi[n], где (i=1,2, . ,l) - произвольные постоянные,

i=1

также является его решением.

Совокупность К линейно независимых решений разностного однородного уравнения порядка К называется фундаментальной системой решений.

Если при n≥n0 существует фундаментальная система решений ℰ1[n], .,ℰk[n] однородного разностного уравнения, то общее решение этого уравнения выражается:

k

ℰ[n]= ∑ Ciℰi[n]

i=1

Общее решение линейного неоднородного разностного уравнения:

x[n+K]+b1[n]x[n+K-1]+ . +bk[n]x[n]=f[n] равно сумме

частного решения ψ[n] и общего решения соответствующего однородного ур-я, т.е.

k

x[n]=ψ[n]+ ∑ Ciℰi[n]

i=1

где Ci - произвольные постоянные, Ei[n] - решение однородного уравнения, удовлетворяющие:

W(E1[n0], .,Ek[n0])≠0 (определитель).

Z - преобразования и его свойства.

			S
	И.М.

U y t

рис. 3.

Для изучения свойств и соотношений, связывающих входные и выходные последовательности системы, изображенной на рис.3, воспользуемся Z-преобразованием. (На рис.3 показана модель системы вход U с импульсным модулятором).

Определение Z-преобразование. функции U(0;∞) представляет собой функцию U комплексной переменной Z определяемую выражением:

∞

(18) U(z)=Z(U)= ∑ U(nT)Z-n , где

n=0

Т-период повторения импульсного модулятора.

Замечание: Если U имеет разрыв в любой дискретный момент kT, смысл соотношения (18) становится не вполне понятным. Поэтому будем всегда считать

U(nT)=U(nT+), n=0,1, .

,т.е. все функции от времени, которые будут преобразовываться в дискретные, будут равны 0 для t<0, и если они непрерывны в некоторые дискретные моменты, то должны существовать значения U(nT-) и U(nT+).

Пример: функция времени z-преобразование

1(t) 1/(1-z-1)

[ВЮЮ4] e-αt 1/(1-z-1e-αt)

Согласно (18) U(z) определяется степенным рядом от z-1. Этот ряд сходится для всех z за пределами окружности |z|=Ru, где

Ru=lim SVp √ |U(nT)|

n→∞

Будем полагать, что каждая рассматриваемая функция имеет конечный радиус сходимости.

Если U является входом импульсного модулятора, то его выход равен

∞

U= ∑ U(kT)δ(t-kT)

k=0

Такая последовательность импульсов имеет преобразование Лапласа

∞

U(S)= ∑ U(kT)e-srT

k=0

Сравнивая (18) с данным соотношением, замечаем, что

U(z)|z=esT =U(S)

Th. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3. Пусть H(z) будет Z-преобразованием импульсной реакции h. Пусть у будет реакцией при нулевом состоянии на входе U, прикладываемый в момент t=0.

Тогда получим:

(19) Y(Z)=H(Z)U(Z) ,для |Z|>max(Ru,Rk)