Рассмотри систему из n случайных функций:

(8) X1(t),X2(t), .,Xn(t)

Каждая из функций этой системы характеризуется математическим ожиданием и корреляционной функцией. Однако необходимо еще ввести характеристику связи между отдельными случайными функциями системы (8).

Такой характеристикой является взаимная корреляционная функция двух случайных функций Xi(t) и Xi(t), и определяется равенством:

(9) Kxixj(t1,t2)=M[Xi○(t)Xj○(t)]

Для того, чтобы отличать взаимную корреляционную функцию, от корреляционной функции, последнюю называют также автокорреляционной.

Для взаимной корреляционной функции случайных функций Хi(t) и Yj(t) справедливы свойства:

(10) Kxy(t1, t2)=Kxy(t1, t2)

(11) Kxy(t1, t2) ≤ √Dx(t1)Dy(t2)

Две случайные функции Х(t) и Y(t) называются некоррелированными, если их взаимная корреляционная функция тождественно равна нулю т.е.

(12) Kxy(t1, t2)=0

В ряде случаев удобно ввести безразмерную характеристику связи между случайными функциями нормированную взаимную корреляционную функцию:

Kxy(t1,t1)

(13) Rxy(t1, t2)=

√ Dx(t1)Dy(t1)

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ.

Выясним, как образуются математические ожидания и корреляционные функции случайных функций при осуществлении над ними линейных операций:

1. Сложение случайных функций.

Возьмем две случайные функции X(t), Y(t). Пусть известны моменты этих функций до второго порядка включительно:

M[X(t)],M[Y(t)], Kx(t1,t2),Ky(t1,t2) Kxy(t1,t2)

Найдем математическое ожидание случайной функции:

(15) Z(t)=X(t)+Y(t)

В силу линейности операции определения математического ожидания имеем:

(16) M[Z(t)]=M[X(t)]+M[Y(t)]

т.е. математическое ожидание суммы случайных функций равно сумме математических ожиданий этих случайных функций.

Вычитая из равенства (15) равенство (16), получим центрированную случайную функцию:

(17) Z○(t)=X○(t)+Y○(t)

Вычислим корреляционную функцию суммы случайных функций Х(t)+Y(t). По определению корреляционной функции имеем: _

(18) Kz(t1, t2)=M[Z○(t1)Z○(t2)]=M[(X○(t1)+Y○(t2)*(X○(t1)+Y○(t2))]=

=Kx(t1, t2)+Kxy(t1, t2)+Kyx(t1, t2)+Ky(t1, t2)

Таким образом, корреляционная функция суммы двух случайных функций равна сумме всех корреляционных и взаимно корреляционных функций этих случайных функций.

2. Дифференцирование случайных функций.

Случайная функция Y(t) называется производной в среднем квадратичном от случайной функции Х(t) по аргументу t, если существует предел:

X○(t+h)-X○(t) 2

(19) lim M -Y○(t) =0

h→0 h

Случайную функцию, для которой существует производная в среднем квадратичном, будем называть дифференцируемой. Случайная функция X(t) называется непрерывной в среднем квадратическом, если существует предел:

(20) lim X(t)=X(t○)

h→0

Корреляционная функция производной dX○(t)/dt=Y○(t) равна:

d2K(t1,t2)

(21) Ky(t1,t2)=

dt1dt2

Взаимная корреляционная функция процесса Х○(t) и его производной равна:

(22) Kxy(t1,t2)=dK(t1,t2)/dt2

Из этих равенств по индукции можно показать справедливость соотношения:

dn+mKx(t1,t2)

(23) Kx(n)x(m)(t1,t2)=

dt1n dt2n

где x(n)(t) и x(m)(t)- соответственно n-я и m-я производные в среднем квадратичном случайной функции Х(t).

3. Интегрирование случайной функции.

Пусть заданы случайная функция Х(Ʈ) и неслучайная функция q(t, Ʈ), где параметр Ʈ изменяется в интервале (а, в). Разобьем интервал (а, в) точками Ʈ○=а,Ʈ○, .,Ʈn=в, на n частей и составим сумму:

n

(24) ∑ X○(Ʈi) q(t,Ʈi)(Ʈi-Ʈi-1)

i=1

значение Ʈi выбрано произвольно в промежуткеƮi-1≤Ʈ≤Ʈi. Рассмотрим предел в среднем квадратическом суммы:

при n→∞ и max[Ʈi-Ʈi-1]→0

n

(25) lim ∑ X○(Ʈi) q(t, Ʈi)(Ʈi-Ʈi-1)

n→∞ i=1

Если этот предел существует, то он называется

интегралом от случайной функции X○(t) в среднем

квадратическом с весом q(t,Ʈ) и обозначается:

b n

(26) Y= ] X○(Ʈ) q(t,Ʈ) dƮ = lim ∑ X○(Ʈi) q(t,Ʈi) ΔƮi

a n→∞ i=1

Рассмотрим случайную функцию Y(t). Согласно определения интеграла от случайной функции получим:

b

(27) Y(t)= ⌡ X(Ʈ) q(t,Ʈ)dƮ

a

Математическое ожидание случайной функции Y(t):

b

(28) M[Y(t)]= ⌡ mx(Ʈ) q(t,Ʈ) dƮ, где mx=M[X(t)]

a

Из неравенства (28) следует, что если существует интеграл, то математическое ожидание интеграла от случайной функции Х(t) равно интегралу от математического ожидания этой случайной функции.

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ.

Существуют случайные функции, не изменяющие свой характеристики с течением времени. Такие случайные функции называются стационарными.

Случайная функция, для которой все n-мерные функции распределения вероятностей не изменяются с изменением начала отсчета времени, называются стационарными в узком смысле.

1.10 ОПТИМИЗАЦИЯ В ТЕОРИИ СИСТЕМ.

Задачу управления в дальнейшем будем рассматривать как математическую. Однако в отличии от многих других математических задач она имеет ту особенность, что допускает не одно, а множество различных решений. Поэтому задачу управления можно было бы ставить как задачу нахождения хотя бы одного из возможных способов достижения поставленной цели. Если имеется множество решений какой-либо задачи, то следует вести речь о выборе такого решения, которое с какой либо точки зрения являлось наилучшим.

В тех случаях, когда цель управления может быть достигнута, несколькими различными способами, на способ управления можно наложить добавочные требования, степень выполнения которых может служить основанием для выбора способа управления.