Отсюда вытекает вероятностный смысл математического ожидания, оно определяет координату центра группирования значений, принимаемых случайной величиной; следовательно, математическое ожидание является средним значением случайной величины.

Для непрерывной, случайной величины каждому ее возможному значению х соответствует элементарная вероятность f(х)dx . Если задана случайная величина Y, которая является неслучайной функцией Y=Ψ(x) случайного дискретного элемента Х, то Y принимает возможные значения уk=Ψ(хk) с вероятностями pk; поэтому математическое ожидание случайной величины Y=Ψ(х) аналогично равенству (3).

n

(4) M[Ψ(x)]= ∑ Ψ(xk)pk

k=1

Если Х - непрерывная, случайная величина, то функция от этой величины Y=Ψ(х) принимает возможные значенияΨ(x) с вероятностями f(х)dх. В этом случае сумма (4) после предельного перехода равна соответствующему интегралу:

∞

(5) M[Ψ(x)]= ⌡ Ψ(x)f(x)dx

-∞

Пологая, в формуле (5) Ψ(х)=хn получим выражение для моментов случайных величин Х.

Начальным моментом (или просто моментом) случайной величины Х называется математическое ожидание ее, n-ной степени. Этот момент обозначается αn т.е.

∞

(6) αn=M[Xn]= ⌡ xn f(x)dx

-∞

Очевидно, математическое ожидание не может дать полное представление о случайной величине, т.к. характеризует только ее среднее значение:

* * * * **** x1

0 m

* *** *** * x2

0 m

На рисунке 2 крестиками показаны значения, которые приняли случайные величины х1, х2. Эти случайные величины имеют одинаковые математические ожидания M[x1]=M[x2]=m, но разброс значений, который имеет случайная величина х2 около своего математического ожидания, больше чем разброс значений случайной величины х1.

Для характеристики величины разброса значений случайной величины около математического ожидания вводится еще одна характеристика случайной величины, равная сумме произведений квадратов отклонений, возможных значений случайной величины от математического ожидания на соответствующие этим возможным значениям вероятности.

Такая числовая характеристика называется дисперсией случайной величины Х и обозначается D[Х]. Для дисперсии случайной величины Х имеем:

n

(7) D[X]= ∑ (xk-M[X])2 pk

k=1

Очевидно, что чем больше дисперсия, тем больше разброс возможных значений случайной величины от математического ожидания. Из выражения (6) следует, что дисперсия есть математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания.

Для непрерывной, случайной величины Х формула (6) после предельного перехода принимает вид:

∞

(8) D[X]=M(X-M[X])2= ⌡ (x-M[X])2 f(x)dx

-∞

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется центрированной случайной величиной Х○.

(9) X○=X-M[X]

Центральным моментом n-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание n-ой степени интегрированной случайной величины Х○, т.е.

∞

(10) μn=M[(X○)n]=M[X-M[X]n]= ⌡ (x-M[X]n) f(x)dx

-∞

Из формул (8), (9) следует, что дисперсия является центральным моментом второго порядка случайной величины. Дисперсия случайной величины имеет разность квадрата этой величины, однако, удобнее пользоваться мерой разброса случайной величины, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина. За эту меру принимают положительное значение квадратного корня из дисперсии и называют ее средним квадратичным отклонением.

(11) δx=√ D[X] = √ μx

МОМЕНТЫ МНОГОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Как и для одномерных, случайных величин, для случайных векторов вводят понятие начального и центрального моментов. Рассмотрим случайный n-мерный вектор - столбец Х с координатами х1, х2, .,хn

Смешанным начальным моментом порядка k1+k2 +, .,+kn случайных, величин х1, , хn называется математическое ожидание произведения

(12) αk1, k2, ., kn=M[x1k1, x2k2, ., xnkn]

Смешанным центральным моментом порядка k1, k2, ., kn случайных, величин х1 , ,хn называется математическое ожидание произведения (x1○)k1(x2○)k2 (xn○)kn соответствующих центрированных случайных величин т.е.

(13) μk1, k2, ., kn=M[(x1○)k1(x2○)k2 .(xn○)kn]

Вычислим момент первого порядка для координат вектора X

(14) α0, ,0,1,0, ,0=M[(x1)○ .(xi-1)○ xi (xi+1)○ .(xn)○=M[xi]

Отсюда, следует, что начальные моменты первого порядка для системы n-случайных величин, есть математическое ожидание этих случайных величин.

Математическим ожиданием случайного вектора Х называется вектор, координатами которого являются математические ожидания соответствующих координат случайного вектора Х, т.е.

(15) M[X]T=M[x1] .M[xn]

Рассмотрим момент второго порядка, пусть имеем две случайные величины хi, уi. Вычислим смешанный центральный момент второго порядка. Согласно равенству (13) имеем:

(16) μ1,1=M(xi○yj○)

Смешанный центральный момент второго порядка случайных величин называется корреляционным моментом и обозначается Кij.

Кроме корреляционного момента двух случайных величин, для характеристики связи случайных величин введем безразмерный коэффициент rij, равный отношению корреляционного момента Kij случайных величин хi, уj к положительному значению квадратного корня из произведения дисперсией этих случайных величин. Этот коэффициент называется коэффициентом корреляции случайных величин т. е.

Kij

(18) rij= √D[xi]D[xj]

Рассмотрим случайный вектор Х с коэффициентами х1, х2, , хn. Матрица К, составленная из корреляционных моментов для всех координат этого случайного вектора:

k11 k12 k1n

k21 k22 k2n

(19) K= =M[X○(X○)T]=[M[Xi○Xj○]]

kn1 kn2 knn

называется корреляционной матрицей случайного вектора Х. из свойств корреляционного момента следует, что Кij=Кji, т.е. матрица К является симметричной:

(20) КT=К

Пусть выполняется линейное преобразование случайного вектора Х, задаваемого в некотором базисе матрицей В, т.е.