(11) АВ= * .

an1 .ank вk1 вkm

ТРАНСПОНИРОВАНАЯ МАТРИЦА.

Пусть А=[aij] - матрица размером m*n. Матрица АT=[а'ij] размером m*n, строки которой являются столбцами матрицы А, столбцы строками матрицы А.

Элемент а'ij матрицы АT определяют по элементам аij матрицы А из соотношения:

(12) а'ij=аji

ОСОБЕННОСТИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ.

В квадратной матрице число строк равно числу столбцов.

Определителем квадратной матрицы называют, определитель составленный из элементов aij этой матрицы и обозначают det A.

Определитель det A обладает следующими свойствами:

1) при умножении на ℷ любого столбца матрицы А определитель det A умножается на ℷ;

2) перемена местами двух соседних столбцов меняет знак det A на противоположный;

3) если любые два столбца матрицы равны между собой, то det A=0;

4) добавление к любому столбцу матрицы любого другого столбца, умноженного на произвольный скалярный множитель, оставляет det A неизменным;

5) если столбцы матрицы линейно зависимы, то det A=0;

ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА-КЕЛЛИ.

Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического уравнения.

(13) det (A-ℷI)=a0ℷn+a1ℷn-1+ .+an-1ℷ an=0

(14) a0An+a0An-1+an-1A+anI=0[n*n]

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размером n*n, назовем такую матрицу А-1 того же размера, для которой справедливо соотношение:

(15) А*А-1=А-1*А=Е

Пусть у=Ах - линейное преобразование с квадратной матрицей А=[xij]. Обратным преобразованием называют преобразование х=А-1у. Матрицу А-1 этого преобразования называют обратной по отношению к матрице А.

(16) А-1=(1/detA) [Aij]T , где Аij - алгебраическое

дополнение элемента а в определителе матрицы.

Система уравнений Ах=у называется определенной и имеет единственное решение, если detA≠0. Матрица А, для которой выполнено это условие, называют невырожденной.

ДИАГАНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦ.

Вид квадратной матрицы А линейного преобразования у=Ах, может быть изменен без изменения характеристического уравнения этой матрицы путем использования преобразования подобия.

Пусть А - квадратная матрица; С - произвольная невырожденная матрица. Преобразованием подобия называют преобразование:

(17) В=С-1*А*С

Преобразование подобия позволяет приводить некоторые виды квадратных матриц к диагональной форме, являющейся наиболее удобным видом матрицы.

ℷ1 0 0

(18) diag[ℷ1 ℷ2 ℷn ]= 0 ℷ2 0

0 0 ℷn

Нормой матрицы А размер m*n называется сумма модулей ее элементов:

m n

(19) │А│= ∑ ∑ │a ij │

i=1 j=1

При решении задач удобно ввести матрицы, элементы которых являются функциями независимой переменной t.

Эти матрицы имеют вид:

a11(t) a12(t) a1n(t)

(20) А(t)= a21(t) a22(t) a2n(t)

am1(t) am2(t) . amn(t)

и называются функциональными матрицами.

Производной матрицы А(t) по независимому переменному называется матрица А(t) вида:

da11(t)/dt da12(t)/dt da1n(t)/dt

(21) А(t)= dA(t)/dt = . =

dam1(t)/dt adm2(t)/dt damn(t)/dt

=[daij(t)/dt]

1.3 ПОНЯТИЕ ДИНАМЧЕСКОГО ОБЬЕКТА.

Физический объект - физическое устройство, характеризуемое некоторым числом свойств, соответствующих целям его использования.

В теории систем существенным является не физическое, а математическое описание свойств объекта и соотношений между ними. В теории систем объектом А является абстрактный объект, связанный с множеством свойств, который обычно характеризуется числами или набором чисел. Таким образом, фактически абстрактный объект или просто объект представляет собой множество переменных вместе с отношениями между ними.

Вспомогательные определения и понятия:

v1, v2, .- основные переменные объекта А.

Основное уравнение - соотношение между основными переменными.

(1) A(1)(v1, ., vn)=0 Основное уравнение объекта A,

A(2)(v1, , vn)=0 где A(j), j=1, ., m

. vi , i= 1, ., n

A(m)(v1, ., vn)=0 m и n - конечные числа

Если абстрактный объект A определяется соотношениями (1) без каких - либо указаний, какие переменные являются входными (причина), а какие - выходными (следствия), то A будем называть неориентированным объектом.

Если основные переменные подразделены на две группы - входные и выходные переменные, играющие роль независимых и зависимых, то A будет называться ориентированным объектом.

Состояние объекта A в момент t0 может рассматриваться как параметр S(t0), связанной с каждой парой вход-выход

(U[t0, t], Y[t0, t]), таким образом, что Y[t0, t] единственным образом определяется заданием U[t, t] и S(t0).

Иначе говоря, состояние объекта в момент t0 есть некоторый набор чисел, представленный, например, вектором α, который изменяется в пространстве ∑ так, что знание (1)α, (2) - уравнения вход-выход для объекта и (3) - входа U[t0,t]] является достаточным для однозначного определения входа y[t0,t].

S(t0) - называется состоянием объекта в момент t0.

[t0,t]- интервал наблюдаемости

УРАВНЕНИЕ ВХОД-ВЫХОД-СОСТОЯНИЕ.

Пусть А- ориентированный абстрактный объект, U,у - вход и выход на интервале наблюдения [t0,t] - переменная в пространстве ∑, R[U], R[y]- пространство входа и выхода.

(2) y(t)=A (α;U[t0,t]) ∀ t>t0

где A- функция α и U[t0,t]

U и у принадлежат R[U], R[у]

Уравнение (2) является уравнением вход-выход состояния. Символьная форма записи вход - выход - состояние.

(2') у[t0,t]=A (α,U), где

черта над A служит для того, чтобы отличить у(t) и у[t0,t]

Следовательно пара U[t0,t],у[t0,t] удовлетворяет уравнению

вход - выход - состояние (2), если U[t0,t] и у[t0,t] составляют

пару вход-выход по отношению к некоторому α в ∑.

В соответствии с уравнением (2') можем записать:

R[y]= { A(α,U)│ α∈∑, U∈ R[U] }

Условия взаимной совместимости:

Каждая пара вход-выход для удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние (2')

Более детально: (1) если (U[t0,t],у[t0,t]), или проще (U,у) является любой парой функции времени (при U∈R[U], у∈R[y]),

удовлетворяющих уравнению А(U,y)=0, то (U,y) удовлетворяет также и (2') в том смысле, что существует α0 в ∑ такое, что

(3) у= A (α0,U[t0,t]),

и (2) любая функция времени (U,y), удовлетворяющая уравнению (2') для некоторого α, принадлежащего ∑ на интервале наблюдения [t0,t], является парой вход-выход для A.

Первое условие собственной совместимости:

Для того, чтобы множество ∑ могло называться пространством состояний A , оно должно иметь следующее свойство: если дана любая точка α в ∑ (которую мы назовем состоянием A в момент t0) и любой вход U[t0,t] в пространстве входов A, то выход в момент t однозначно определяется значением α и U[t0,t], и не зависит от значений U и y в момент времени, предшествующий t0, т.е. для всех t0 реакция y(t) в любой момент времени t>t0, однозначно определяется заданием α и U[t0,t].