Но если взять отдельно сделанное только Лейбницем, то и этого достаточно, чтобы новая математическая дис­циплина в своих основах и главных применениях предста­ла перед современниками в почти законченном виде. Сло­вом, то, что принадлежит Лейбницу, могло сделать его единоличным создателем исчисления бесконечно малых.

Как ни велико сделанное Лейбницем для анализа, в анализе и с помощью анализа бесконечно малых, этим не исчерпывается его математическое творчество. Но в других областях математики он не мог достичь столь же значительных результатов уже в силу самого состояния этих областей. Так, в теории чисел Лейбниц тоже искал общий метод и, видимо, иной раз ему казалось, что он подобный метод, какое-то регулярное исчисление нашел, но затем ему приходилось отказываться от таких притя­заний. Результатами его поисков в этой области остались опубликованные в 700-е годы работы по бинарной арифметике. Лейбницу принадлежит также доказательство малой теоремы Ферма. Он интересовался и магическими квадратами и кубами, и в последнем письме Вариньона к Лейбницу речь идет о составленном Лейбницем магическом кубе из 27 клеток.

И в геометрии Лейбниц искал соответствующую гео­метрической сути задач «характеристику», т. е. адек­ватную систему обозначений и действий. По этим вопросам он ничего не опубликовал и лишь изредка касался их в переписке с Гюйгенсом, с Лопиталем. Последнему он писал (27 декабря 1694 г.): «Я не решаюсь еще опубликовать мои проекты характеристики положения, ибо если я не придам ей убедительность, приведя сколько-нибудь существенные примеры, то ее примут за фантазию. Тем не менее, я предвижу, что дело не может не удасться» . Как указывает А. П. Юшкевич, новых конкретных ре­зультатов Лейбниц не имел и дальнейшее развитие его гео­метрические идеи получили только в XIX в. у Мебиуса, Штаудта, Г. Грассмана и др.

К алгебре после парижских лет Лейбниц редко обра­щался. Тут ему принадлежит оригинальный способ иск­лючения (одной неизвестной из двух уравнений) и метод индексации и записи результатов при решении линейных уравнений, равносильный введению определителей. Он изложен в письме к Лопиталю 1693 г. и показан там на примере исключения из трех линейных уравнений с тре­мя неизвестными двух из этих неизвестных. Это дейст­вительно «первые ростки теории определителей».

Лейбница считают основоположником математической логики, и для этого есть все основания. Конечно, он имел предшественников в XVII в. и среди них Иоахима Юнга. О нем Лейбниц писал, что среди всех, кто когда-либо брался за разработку истинного искусства доказа­тельства, никто так глубоко не проник в этот предмет. Притом Юнг стремился математически рассматривать проблемы логики и показал, что многие весьма частые в математических доказательствах умозаключения не мо­гут быть включены в аристотелеву силлогистику. Но Лейбниц пошел значительно дальше, стремясь, как не раз отмечалось , не только математизировать логику, но и логизировать математику.

По Лейбницу, универсальная математика (идея Де­карта) становится истинной формальной логикой. Ибо та­кая математика есть общая наука об отношениях, а каж­дое отношение (например, отношение подобия в геомет­рии) может служить основой особой теории со своими аксиомами и теоремами и соответственно порождает осо­бое исчисление, особую алгебру. Классическая алгебра математиков основана на отношении равенства, алгебра тождества и включения охватывает силлогическую логи­ку и т. д., и все эти алгебры основаны на формально определяемых правилах действий над теми или иными символами.

И Лейбниц многократно предпринимал попытки по­строить логические исчисления. Соответствующие наброски и отрывки уже предназначавшихся для печати, но оставшихся незаконченными работ составляют немалую долю ганноверского архива Лейбница и содержат ряд интересных результатов и плодотворных идей. Так, Лейбниц применил арифметическую модель - составление сложного числа из простых множителей - для представления образования сложных понятий из простых - идея, использованная в математической логике XX в., и, следуя по такому пути, дал арифметическую интерпретацию логики силлогизма.

Стремясь к созданию логического исчисления, он затем перешел к алгебраизации логики, вводя операции логического умножения и деления, логического сложения и вычитания. Вполне последовательной алгебры логики Лейбниц все же не построил и не только потому, что он не смог уделить этой проблеме достаточно времени и сил: большим препятствием было то, что он сразу ста­вил перед собой слишком трудную и обширную задачу, не расчленяя ее на более легкие и частные. Действительно, он одновременно и расширял предмет традици­онной логики, включая в него то, что составляет ис­числение предложений, теорию классов и даже вероят­ностную логику, и строил для расширенной таким обра­зом логики исчисление, пытаясь ввести сразу и прямые (сложение и умножение) и обратные операции (вычи­тание и деление).

В итоге «не все в логической программе Лейбница выдержало испытание временем. Развитие современной науки показало, в частности, принципиальную неосуществимость его «всеобщей характеристики». Несостоятельной оказалась эта типично метафизическая концепция Лейбница о сведении всего содержательного человеческого мышления к определенному конечному чиклу формальных математических исчислений. Провалились, естественно, и вытекающие из этой концепции следствия, в частности, попытка Лейбница вложить вето содержательную математику в узкие рамки формальной логики.

Однако лейбницева идея об алгебраизации задач естествознания получила блестящую реализацию в ходе поступательного развития современной науки и практики». В переписке и неопубликованных фрагментах Лейбница можно найти еще немало интересных замечаний по поводу математики.

Заключение

Не раз, говоря о Лейбнице-математике, прежде всего выделяли в его даровании силу абстрактного и обобщающего мышления. В этом отношении он действительно превосходит всех своих современников и ближе к науке XX в., чем к науке XVII в. И не раз, ссылаясь нанекоторые ошибки Лейбница и на его собственные заявления, занижение, на наш взгляд, оценивали Лейбница-геометра, алгебраиста, аналитика. Изложенное выше дает достаточный материал для того, чтобы признать Лейбница и здесь одной из замечательных фигур в историй математики.

Чем больше мы узнаем о Лейбнице, чем основательнее обрабатываются его архив и другие надежные источники, тем больше подтверждается достоверность приведенного описания его дел и дней. В таких условиях мог продолжать творить и давать значительные результаты только математический гений. И именно в математике Лейбниц достиг вершин своего творчества. Историческое значение математического творчества Лейбница огромно. Оно длилось около сороки лет, и за такой сравнительно небольшой срок математика преобразилась. Наука, в которую вступил Лейбниц, и наука, которую он оставил, принадлежат разным эпохам, и это плод главным образом его трудов и трудов его школы. До Лейбница в обширную область неведомого пытались проникнуть то тут, то там, наскоками, пусть порою очень удачными, не имея общего плана. Благодаря Лейбницу разрозненные прежде усилия были подчинены общей программе, прояснились и близкие и далекие цели, средства для их достижения оказались в распоряжении не только сверходаренных одиночек и значительно выиграли в эффективности. Синтез Декарта - объединение алгебры и геометрии, давший аналитическую геометрию, был заменен гораздо более широким синтезом - созданием анализа бесконечно малых, который сделал полноправной дифференциальную геометрию, воистину открыл «источник трансцендентных величин», позволил механике обрести язык, которого ей не хватало.