Не позднее 1869 г. К. Жордан (1838—1922) в «Мемуаре о группах движений» находит 65 из них, со­держащих только собственные (незеркальные) дви­жения; Л. Зонке (1842—1897) применил эти группы в 1879 г. к кристаллографии. Вывод всех 230 прост­ранственных групп симметрии был дан почти одно­временно и независимо друг от друга Е. С. Федоро­вым в России (1890 г.) геометрически и А. Шенфлисом (1853—1928) в Германии (1891 г.) алгебраиче­ски на основе теории групп.

Открытия Федорова—Шонфлиса завершают целую эпоху в изучении симметрии в природе, и прежде всего кристаллов. Они позволили дать глубокое, исто­рически первое — кристаллографическое — учение о симметрии, оказавшееся частным случаем второго, геометрического, а затем и более фундаментального, одновременно и самого абстрактного (динамического) понимания симметрии.

2. 2.2.Симметрия кристаллов.

Правильную, симметричную форму кристаллов издавна объясняли симметричным расположением атомов. Само существование атомов было еще гипотезой, но внешнее проявление стройного порядка заставляло предполагать внутреннюю причину. Быть может, правильные пирамиды, сложенные из пушечных ядер, которые когда-то делались круглыми, наводили на мысль, что огранка кристаллов обязана способсти атомов самостоятельно укладываться в стройном порядке. Слово атом значит неделимый, атомы считали такими же круглыми, гладкими и твердыми, как ядра.

Как ни примитивен такой взгляд с нашей нынешней точки зрения, он оказался необычайно плодотворным в науке о кристаллах, где и сейчас есть понятие плотной упаковки, такой, как в пирамиде, сложенной из шаров.

Давнее, чисто умозрительное учение о строении кристаллов принесло большую пользу еще и потому, что позволило правильно подойти к вопросу о возможных видах симметрии кристаллов.

Симметрия кристаллов-свойство кристаллов совмещаться с собой при поворотах, отражениях, параллельных переносах либо при части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы кристалла определяется симметрией его атомного строения, которая обуславливает также и симметрию физических свойств кристалла.

В наиболее общей формулировке симметрия- неизменность (инвариантность) объектов и законов при некоторых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы – объекты в трехмерном пространстве, поэтому классическая теория симметрии кристаллов- теория симметричных преобразований в себя трехмерного пространства с учетом того,что внутренняя атомная структура кристаллов дискретная, трехмерно- периодическая. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жесткое целое. Такие преобразования называются ортогональными или изометрическими. После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находившимися в другом месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

Симметрия кристаллов проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трехмерном пространстве, но также и при описании энергетического спектра электронов кристалла, при анализе процессов дифракции нейтронов и дифракциииэлектронов в кристаллах с использованием обратного пространства.

Кристаллу может быть присуща не одна, а несколько операций симметрии. Так, кристалл кварца (рис.1,а) совмещается с собой не только при повороте на 120°вокруг оси 3 (операция g1), но и при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция g2), а также при поворотах на 180° вокруг осей 2x, 2y, 2w(операции g3, g4, g5). Каждой операции симметрии может быть сопоставлен элемент симметрии – прямая, плоскость или точка, относительно которой производится данная операция. Например, ось 3 или оси 2x, 2y, 2w являются осями симметрии, плоскость m (рис.1,б). – плоскостью зеркальной симметрии и т.п. Совокупность операций симметрии {g1, g2,…,gN} данного кристалла образует группу симметрии GÎ (g1,g2,…gN) в смысле математической теории групп. Последовательность проведения операций симметрии также является операцией симметрии. В теории групп это обозначается как произведение операций:g1g2=g3. Всегда существует операция идентичности g0, ничего не изменяющая в кристалле, называемая отождествлением, она геометрически сооответствует неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу, называется порядком группы.Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из которых важнейшими являются точечные группы симметрии, описывающие внешнюю форму кристаллов; их называют также кристаллографическими классами; пространственные группы симметрии, описывающие атомную структуру кристаллов.

Точечные группы симметрии. Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси сим­метрии порядка N на угол, равный 360°/ N (рис. 2, а);отражение в плоскости симметрии т (зеркальное отражение, рис. 2,б); инверсия 1 (сим­метрия относительно точки, рис.2,в); инверси­онные повороты N (комбинация поворота на угол 360°/Н с одновременной инверсией, рис. 2, г).

Вместо инверсионных поворотов иногда рассматриваются экви­валентные им зеркальные повороты N. Геометрически возможные сочетания операций точечной симметрии определяют ту или иную точечную группу симметрии, к-рая изображается обычно в стереографической проекции. При преобразованиях точечной сим­метрии по крайней мере одна точка объекта оста­ётся неподвижной — преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографической проекции. Примеры кристаллов, относящихся к различным точечным группам, даны на на рис.3.

В кри­сталлах ввиду наличия кристаллической решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го; в кристаллической решётке не мо­жет быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство без промежутков).

Для описания точечной группы симметрии достаточ­но задать одну или несколько порождающих её операции сим­метрии, остальные её операции (если они есть) возник­нут в результате взаимодействия порождающих.

Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей (группы 1-го рода). Группы, содержащие от­ражения или инверсионные повороты, описывают кри­сталлы, в которых есть зеркально равные части (группы 2-го рода). Кристаллы, описываемые группами 1-го ро­да, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах («правой» и «левой», каждая из к-рых не содер­жит элементов симметрии 2-го рода), по зеркально-рав­ных друг другу

Группы симметрии кристаллов несут в себе геометрический смысл: каждой из опе­раций giÎG соответствует, например, поворот вокруг оси симметрии, отражение в плоскости. Некоторые точечные группы в смысле теории групп, учитывающей лишь пра­вила взаимодействия операций gi gi = gi в данной груп­пе (по не их геометрический смысл), оказываются одинаковыми, или изоморфными друг другу.