Закон постоянства гранных углов Стенона впослед­ствии дал начало учению о морфологической симмет­рии кристаллов — основе учения о симметрии любых фигур с особенной точкой. Напомним слова А.В Шубникова об особенных элементах фигуры: «Точка (пря­мая, плоскость) фигуры (или ее части) называется особенной, если она совмещается с собою всеми опе­рациями фигуры (или ее части). Особенные геомет­рические элементы существуют в фигурах в единст­венном числе». Центр сферы, ось конуса, поперечная плоскость цилиндра—соответственно особенные точка, линия, плоскость; трехмерное пространство в класси­ческом учении о пространственной симметрии кристал­лов — также особенный геометрический элемент.

Существует несколько наименований фигур с осо­бенными точками. Чаще всего их называют конеч­ными или строже точечными фигурами, реже — фи­гурами симметрии нулевого измерения. Последние мо­гут быть разделены на две категории: фигуры без особенных плоскостей и фигуры с особенными плоско­стями. Все платоновы тела и шар принадлежат к фигурам первой категории. К фигурам второй кате­гории принадлежат так называемые розетки (одно- и двусторонние). Примеры односторонних розеток — фигуры пуговицы, цветка растения, насекомого, дет­ской бумажной вертушки, фигуры травления на гра­нях кристалла; примеры двусторонних розеток - ре­шетки ворот, колеса, кольца, платки с одинаковым ри­сунком с обеих сторон, буквы без лица и изнанки (П, Н, Ж ), снежинки, фигуры млекопитающих, ес­ли смотреть на них сбоку (при другой ориентации они предстанут уже в виде односторонних розеток). Таким образом, и у тех и у других розеток имеется одна особенная плоскость с особенной точкой в ней. При этом у односторонних розеток эта плоскость полярна, т. е. ее «лицо» отлично от «изнанки», а у дву­сторонних она не полярна и может являться поэтому плоскостью симметрии.

По-видимому, будет правильно связать развитие учения о симметрии нулевого измерения с построения­ми древними математиками таких типичных конечных фигур, как многоугольники и многогранники. Особое место здесь должно быть отведено пяти правильным платоновым многогранникам, которые Г. Вейль удач

но назвал древним эквивалентом некоторых современных классов групп симметрии конечных фигур.

Далее в изучении симметрии кри­сталлов наблюдается досадный более чем полуторатысячелетний перерыв. Возобновившийся после столь длительного застоя ход исследований в сухом пе­речне дат и фамилий выглядит так.

1611 г. — И. Кеплер указывает на сохранение уг­ла (в 60° между отдельными лучами у снежинок и гениально объясняет это их внутренним сложением из шарообразных частиц. 1669 г. — Н. Стенсен открыл закон постоянства углов у кристаллов кварца и гематита.

1670 г. — Э. Бартолин (1625—1698) то же свой­ство указал для кальцита; 1695 г. — А. Левенгук (1632—1723) — для гипса (малых и больших кри­сталлов); 1749 г. — М. В. Ломоносов (1711—1765) — для кристаллов селитры, пирита, алмаза и других, положив тем самым начало русской кристаллогра­фии.

Лишьь в 1783 г. Роме де Лиль (1736—1790) рас­пространил закон постоянства углов на все кристаллы, проведя десятки тысяч измерении на большом числе объектов. Результаты измерений — итог всей жизни — он систематически докладывал ученым в Париже. Эти сообщения и были первыми лекциями по кристаллографии. Закон постоянства углов фор­мулируется им в работе «Кристаллография» так: «Грани кристалла могут изменяться по своей форме и относительным размерам,но их взаимные наклоны постоянны и неизменны для данного рода кристал­лов» .

В 1784—1801 гг. Р. Ж. Гаюи (1743—1822), тща­тельно математически переработав данные Роме де Лиля, установил другой важнейший закон геометри­ческой кристаллографии — закон целых чисел (ра­циональных отношений параметров), с которым не­посредственно связан закон целых чисел в химии Дальтона (1808 г.), бывавшего в то время в Париже и слушавшего лекции Гаюи. Закон Гаюи формули­руется следующим образом: положение всякой гра­ни в пространстве можно определить тремя целыми числами, если за координатные оси взяты направле­ния трех ребер кристалла, а за единицу измерения — отрезки, отсекаемые на этих осях гранью кристалла, принятой за единичную. X. Венссом (1780—1856) в 1815 г. было предложено деление кристаллов на сингонии (сейчас они классифицируются на 7 сингоний, 3 категории). В итоге всех исследований были сделаны два великих открытия: открытие полных групп симметрии кристаллов — морфологической (1830 г.) и через 60 лет структурной (1890 г.). Пер­вое открытие на основе закона целых чисел сделал в 1830 г. малоизвестный при жизни марбургский профессор И. Ф. Гессель (1796—1872), геометрически доказавший, что внешняя форма кристаллов опи­сывается лишь 32 видами симметрии. Одновременно он разработал полную теорию симметрии конечных фигур и вывел бесконечное множество видов их сим­метрии. Однако эта работа осталась незамеченной. Те же 32 вида вновь, хотя и иным путем, открыл уже в 1867 т. русский ученый Л. В. Гадолин (1828—1892) . Замечательно, что при жизни последнего эм­пирически было известно лишь 20 видов симметрии кри­сталлов. Результаты Гесселя—Гадолина привели к вы­воду о том, что фигуры симметрии нулевого измерения полностью описываются бесконечным числом групп (видов). Увеличение числа групп симметрии с 32 до ∞ объясняется просто: за счет учета и запрещенных для кристаллов осей симметрии, т. е. 5, 7, 8, 9, 10, . и т. д., кроме ∞ , порядков. Причина этого запрета стала понятна лишь после раскрытия внутреннего строения кристаллов. Она связана с решетчатым рас­положением атомов, ионов и молекул, в трехмерном пространстве (О. Бравэ и др.).

История второго величайшего открытия связана с постепенной кристаллизацией понятия «кристалличе­ская решетка». Эта идея витала в воздухе. На нее исходя из разных соображений указывали многие.

Например, И. Кеплер приписывает кристал­ликам снежинок структуру, получающуюся при плот­ной укладке шариков одного диаметра. Аналогичные воззрения на структуру кристаллов каменной соли, квасцов и других веществ высказывались и Р. Гуком (1635—1703) в его «Микрографии» (Лондон, 1665). Однако Гук ограничивался рассмотрением расположе­ния шариков лишь на плоскости. Далее, И. Ньютон (1643—1724) в «Оптике» (1675 г.) также предполагал, что при образовании кристаллов частицы уста­навливаются в строй и ряды, поворачивая свои оди­наковые стороны в одинаковом направлении и застывая в правильных фигурах. Аналогичные мысли высказывали Д. Гульельмини, X. Гюйгенс (1629—1695), М. Ломоносов и многие другие.

Пытаясь объяснить закон целых чисел, Гаюи на углах кристаллической решетки ставил многогранные молекулы; лишь в 1813 г. У. X. Волластон (1766— 1828) заменил их шарами или просто математиче­скими точками: тем самым идея кристаллической ре­шетки приняла вполне современный вид. Основываясь на достигнутом, О. Бравэ в 1848 г. устанавливает, что всех типов кристаллических решеток лишь 14 . Поч­ва для вывода всех пространственных групп симмитрии кристаллов уже как бесконечных фигур была готова.