Аналогично устанавливаются остальные две формулы теоремы косинусов для треугольника.

Следствие. В треугольнике две стороны конгруэнтны тогда и только тогда, когда лежащие против них углы конгруэнтны.

Доказательство:

I. Пусть . Докажем, что .

Имеем

.

II. Пусть . Докажем, что . Выполним следующие преобразования

– ,

,

,

,

.

Докажем, что ; то ;

, но для треугольника .

Таким образом,

.

Теорема 18.6.

, (1)

(2)

(3)

Доказательство:

Докажем равенство (1). Рассмотрим равенство: . Умножим его скалярно на :

, или так как , то

, или

, это и есть равенство (1).

Аналогично устанавливается остальные соотношения.

Следствие 2. Если один из углов в треугольнике тупой, то два других острые.

Доказательство:

Пусть – прямой, то есть .

Имеем:

,

.

Тогда:

– острый,

– острый.

Следствие 3. В треугольнике более одного тупого угла быть не может.

Доказательство:

Пусть – тупой угол, то есть .

Тогда – острый.

Аналогично устанавливается, что – острый.

Определение 18.6. Треугольник называется прямоугольным, если он имеет прямой угол.

Теорема 18.7. (теорема Пифагора). Если в – прямой, то .

Доказательство:

Имеем: .

Так как – прямой, то .

Тогда .

Теорема 18.8. (обратная теорема 18.7). Если в , то этот треугольник прямоугольный.

Доказательство получается в результате проведения предыдущих рассуждений в обратном порядке.

Следствие 4. В прямоугольном треугольнике каждый катет меньше гипотенузы.

Доказательство:

Пусть , тогда имеем:

,

.

Так как углы С и В острые, то и .

Отсюда и .

§6.2. Конгруэнтность треугольников

Определение 18.7. Если треугольник АВС называется конгруэнтным треугольнику А1В1С1, если

,

.

Обозначение: – треугольник АВС называется конгруэнтным треугольнику А1В1С1.

Теорема 18.9. Если , то .

Доказательство:

Имеем:

, (1)

(2)

По условию теоремы .

Отсюда и из равенств (1) и (2) следует, что , то есть

Аналогично устанавливается и соотношения , . Отсюда .

Теорема 18.10. Если и

то .

Доказательство: