4. В ряде случаев, например при решении задач на многогранные углы,

вычисления упрощаются, если ввести единичные векторы, отложенные от вершины многогранного угла.

Примеры задач, решаемых векторным методом.

Задача. Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.

Решение.

Пусть и ;

Согласно условию .

Вектор есть разность векторов и , т.е. (т.к. ).

Аналогично .

Угол между векторами находится по формуле:

,

но, , т.к. . Следовательно

.

длины векторов и найдем по теореме Пифагора.

Таким образом

Тогда

Ответ:

Задача. На ребрах прямоугольного трехгранного угла с вершиной О отложены равные отрезки ОА, ОВ, ОС. Из точки О на плоскости ABC опущен перпендикуляр ОН. Доказать, что если точка Н1 симметрична точке Н относительно вершины О, то тетраэдр Н1 ABC правильный.

Решение:

Примем вершину О трехгранного угла за начало векторов. Тогда

и .

Следовательно,

,

.

Найдем

Учитывая, что и , имеем: .

Далее находим:

,

,

.

Это значит , что отрезки H1A и H1B равны и образуют угол 60°, т.е. треугольник H1AB правильный.

Аналогично устанавливается, что две другие грани H1BC и H1CA являются равносторонними треугольниками и вследствие этого тетраэдр правильный.

Задача. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельна медианам данного треугольника ABC.

Решение.

Обозначим середины сторон ВС, СА и АВ соответственно А’, B’, C’. Выразим векторы, представляющие медианы треугольника ABC, через , , (через стороны данного треугольника):

,

,

.

Составим сумму сторон треугольника ABC

.

Но так как векторы и образуют данный треугольник ABC, то их сумма равна нулю, следовательно, и . А это значит, что из векторов можно построить треугольник.

Задача. В треугольнике ABCD точка Е и F – середина рёбер АВ и CD соответственно. Доказать, что середины отрезков СЕ, DE, AF и BF являются вершинами параллелограмма.

Решение. Пусть К, L, М, N - середины отрезков СЕ, DE, AF и BF, соответственно. Доказать, что середины отрезков СЕ, DE, AF и BF являются вершинами параллелограмма.

Докажем равенство векторов и , выразив их через векторы , , , , где О – произвольная точка.

(1)

. (2)

Ч. Т. Д.

Задача. Точки К, L, M на сторонах АС, ВС, АВ треугольника ABC таковы, что , N – середина сторона АС. Найти отношение в котором точка пересечения отрезков KL и MN делит отрезок KL.

Решение.

Обозначим через О точку пересечения отрезков MN и KL и через х отношение KO : KL. Тогда . Учитывая, что L – середина МС и , получаем