Задача. Доказать, что если М – центроид треугольника АВС и О -произвольная точка пространства, то выполняется равенство

(1)

Доказательство:

Запишем следующие векторные равенства:

Сложив эти равенства по частям, получаем:

,

откуда

Доказанное равенство также следует отнести к основным векторным соотношениям, так как оно часто используется в решении многих задач.

II Основное соотношения. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D так, что АD : DС = m : n.

Тогда имеет месть следующее соотношение:

(II)

Доказательство:

Из треугольника АВС имеем:

.

Ч.т.д.

Задача. Через середину Е медианы СС1 треугольника АВС проведена прямая АЕ, пересекающая сторону ВС в точке F. Вычислить АЕ : ЕF и СF : FВ.

Решение.

Введем векторы и . Пусть СF : FВ = m : n. Тогда по формуле (II) имеем:

и (1)

где 0 < х < 1.

С другой стороны, учитывая, что Е – середина медианы СС1 получаем для АЕ следующее выражение:

(2)

В силу единственности разложения вектора по двум векторам из (1) и (2) получаем систему:

(3)

Разделив по частям первое уравнение системы (3) на второе, получаем, что m : n = 1 : 2, т.е. СF : FВ = 1 : 2.

Сложив по частям уравнение системы (3), находим, что , т.е. AE : EF = 3 : 4

III Основное соотношение. Если точки М и N делят отрезки АВ и CD соответственно в равных отношениях так, что AM : MB = CN : ND = m : n, то выполняется равенство.

(III)

Доказательство:

Для доказательства равенства (III) мы воспользуемся формулой (II). Запишем, что отрезки АВ и CD могут произвольно располагаться относительно друг друга (например, они могут лежать на скрещивающихся прямых и на прямых, принадлежащих одной плоскости).

Пусть О - произвольная точка, не принадлежащая ни отрезку АВ, ни отрезку CD. Соединим точку О с точками А, М, В, С, N и D и раcсмотрим векторы и .

Имеем:

,

,

Ч. т. д.

Задача. На прямой m даны три точки Р, Q, R, а на прямой m1 -три точки P1, Q1, R1 причем , . Доказать, что середины отрезков PP1, QQ1 и RR1 принадлежат одной прямой.

Решение.

Пусть М, N и К - середины отрезков РР1 QQ1 и RR1 соответственно.

На основании (III) запишем следующие векторные равенства:

(1)

(2)

Из (1) и (2) следует, что векторы и коллинеарные. А так как начало одного из них является концом другого, то точки М, N и К принадлежат одной прямой.

IV Основное соотношение. Дан тетраэдр ABCD и в плоскости его грани ABC точка М. Доказать, что для разложения

Выполняется равенство

Доказательство:

Допустим, что точка М лежит внутри треугольника ABC. Проведем через точки А и М прямую, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Пусть Е делит сторону ВС в отношении m : n, т.е.

BE : EC = m : n.

Тогда по формуле (II)

Пусть далее точка М делит отрезок АЕ в отношении p : q, т.е. AM : ME = p:q. Тогда

.

Откуда

Ч. т. д.

2. Применение векторов к решению геометрических задач

В ряде случаев при решении задач на вычисление применение векторов предпочтительнее конструктивных подходов, связанных с использованием дополнительных построений, применения элементарной алгебры и тригонометрии.

Чтобы успешно решать геометрические задачи посредством векторов, требуется не только знание законов векторной алгебры, знакомство с понятием разложения вектора в базисе , умение переводить геометрический факт на язык векторов, но и определенная методика при составлении плана решения. Отметим несколько важных положений.

1. Если требуется вычислить расстояние или угол, то надо применять скалярное умножение векторов.

2. При введение векторов можно идти двумя путями:

а) выбрать точку от которой откладывается известные векторы;

б) векторы изображать направленными отрезками, связанными с рассматриваемыми в задаче фигурами, не откладывая их от одной точки.

3. Если задача планиметрическая, то целесообразно выделить два неколлинеарных вектора в качестве базисных и остальные векторы выразить через них; если же задача стереометрическая, то в качестве базиса следует выбрать три некомпланарных вектора. При этом введение начальной точки необязательно.