Так как точка О лежит на прямой MN, то . Откуда . Значит, .

Ответ: KO : OL = 2:3

Задача. Отрезки DA1, DB1, DC1 – медианы граней BCD, ACD и ABD тетраэдра ABCD соответственно. Точки К, М, N делят отрезки DA1, DB1, DC1 в отношении , . В каком отношении плоскость KMN делит ребра DA и DB ?

Решение.

Пусть плоскость KMN пересекает ребра DA, DB и DC тетраэдра ABCD в точках Р, Q, R соответственно.

Точки А1, В1, С1 – середины отрезков ВС, АС, АВ соответственно. Следовательно,

Решив эту систему, (например, сложив (1) и (2), и вычтя (3) получим

Пусть . Тогда, учитывая , , ,

имеем

, и, т.к. точки К, М, N, Р лежат в одной плоскости, то

.

Таким образом, , откуда .

Пусть теперь , тогда

, и

, откуда

Ответ: , .

Задача. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости оснований и имеет длину 2. Найти угол между прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра ВС, а друга проходит через точку С и середину ребра АВ.

Решение. Обозначим .

Выберем в качестве базиса векторы , и .

Тогда, из треугольника BCS: ,

а из треугольника ABC:

Ответ: .

Задача. Каждое ребро призмы ABCA1B1С1 равно 2.

Точки М и N – середины ребер АВ и A1А. Найти расстояние от точки М до прямой CN, если известно, что угол A1AС paвeн 60° и прямые A1A и АВ перпендикулярны.

Решение.

Рассмотрим базис, состоящий из векторов , , и составим таблицу умножения для этих векторов.

Расстояние от точки М до прямой CN равно расстоянию от точки М до её проекции на прямую CN.

Пусть Р – проекция точки М на прямую CN.

Тогда

для некоторого числа х.

Так как и ,

Поскольку прямые и перпендикулярны, то т.е.

.

Раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения для нашего базиса, получаем: .

Тогда .

Искомое расстояние равно

Снова раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения, находим . Таким образом, расстояние от точки М до прямой равно .

Ответ : расстояние равно .

у 6

Задача. В параллелограмма ABCD точка К – середина стороны ВС, а точка М – середина стороны CD. Найдите AD, если АК = 6, АМ = 3, угол КАМ = 60°.

Решение.

В качестве базиса выберем векторы и и составим таблицу умножения для векторов этого базиса.