Если предел константа, то эквиваленты 1 и 2, если случайная величина - то 1 и 3.

Существующие определения сходимости случайных величин.

Пусть имеется счетная последовательность случайных величин и пусть предел последовательности.

1. Счетная последовательность сходится к пределу с вероятностью 1, если Р(А)=1.

Это не вероятность достоверного события.

2. Сходимость по поверхности.

Счетная последовательность случайных величин сходится к по поверхности, если

3. Сходимость в среднеквадратичном.

Последовательность случайных величин сходится к пределу в среднеквадратичном, если выполняется

Покажем, что из сходимости в среднеквадратичном следует сходимость по вероятности.

Воспользуемся Неравенством Чебышева

При любом конечном r если выполняется сходимость в среднеквадратичном, то этот предел существует и равен 0, т.к. числитель сходится к 0, а знаменатель конечен.

Теорема.

Счетная последовательность сходится к пределу с вероятностью 1 только тогда, когда

Указанное выше событие имеет своим дополнением событие

и сходимость с вероятностью 1 означает, что P(B)=0.

Очевидно, что условие теоремы достаточно рассмотреть для .

Положим

События Вrm, m=1,2, убывают, и для

Докажем это.

Будем искать P(Br) так

Событие, обратное имеет следующую структуру:

Показать самим, что следующее событие включает предыдущее.

По построению справедлива следующая формула

По третьей аксиоме теории вероятности

Построенный ряд D1, D2 .Dn образует неубывающую ограниченную последовательность, следовательно имеет предел сверху.

Поэтому возможен переход

Теорема Бернулли.

Рассмотрим систему независимых испытаний Бернулли.

Система испытаний неограниченна. С каждым i-видом испытаний свяжем дискретную величину Xi

Хi принимают значения 1, если в i-том испытании произошло событие А и 0 - в противном случае

Рассмотрим случайную величину - число появлений события А в n испытаниях

Рассмотрим случайную величину

Это частость наступления события А в n испытаниях

Используем неравенство Чебышева

где e - произвольное неотрицательное число

Рассмотрим

Получена теорема Бернулли.

Частость наступления произвольного события при числе испытаний стремящемся к бесконечности по вероятности сходится к теоретической вероятности наступления события.

Обоснование того, что - частость наступления события A заключается в следующем: с тоски зрения ранее приведенного определения, независимым испытаниям эквивалентны две схемы:

· проведение n раз одного и того же испытания

· проведение n независимых испытаний над n копиями одного и того же.

Аналогия: 100 раз монету подбрасывает 1 человек или 100 человек подбрасывают по одной монете.

Закон больших чисел.

Рассмотрим независимые: одинаково распределенные случайные величины X1, X2, ., Xn с конечным мат. ожиданием и дисперсией.

Рассмотрим их среднее арифметическое

Используя вспомогательное неравенство получим

получаем

При числе испытаний, стремящихся к ¥ среднее арифметическое по вероятности сходится к математическому ожиданию.

В любом университетском учебнике доказывается сходимость с вероятностью 1.

Использование закона больших чисел.

Пусть имеется одна случайная величина X, над которой проведено n испытаний. Результаты испытаний

Тогда в силу примечания, сделанного Бернулли, эти n-чисел можно считать результатом одного испытания над n-мерной случайной величиной, у которой Xi независимы и распределены как X, т.е.

Тогда является реализацией следующего

Для справедлив закон больших чисел, следовательно является хорошей оценкой величины X.

Основы теории характеристических функций

Комплексная случайная величина Z определяется с помощью двумерной случайной величины (X,Y) следующим выражением

Операции над комплексными случайными величинами совпадают с операциями над комплексными числами.

Рассмотрим скалярную функцию случайных аргументов и числа i.

тогда в теории вероятности математическое ожидание случайной величины вычисляется по тем же формулам, что и , просто i считают постоянным параметром.