Показать, что эта формула в двумерном случае совпадает с выражением, рассмотренном ранее.

Свойства n-мерного нормального распределения.

- определитель матрицы B - неотрицательное число.

По критерию Сильвестрова, если то все главные миноры матрицы B неотрицательные и определитель матрицы B неотрицателен.

Свойства многомерного нормального распределения

Все одномерные плотности вероятности - это плотности вероятности одномерной нормальной случайной величины с параметрами, определяемыми координатами вектора X и главной диагональю ковариационной матрицы B. Кроме того, подвектор вектора из k элементов, где также распределен нормально.

Если все коэффициенты корреляционной или ковариационной матрицы B (все ее недиагональные элементы) равны нулю, то показать самим, что компоненты случайной величины являются независимыми.

если ,то многомерная плотность распадается на произведение одномерных, значит независимы.

Теорема.

Проводим линейное преобразование Y=AX. A - квадратная невырожденная матрица, тогда вектор Y также имеет n-мерное нормальное распределение вида

Следствие: Из доказательства теоремы вытекает, что ковариационная матрица

Оператор A переводит произвольную область из арифметического пространства Rn в некоторую область того же пространства.

Рассмотрим произвольную область S, принадлежащую пространству элементарных событий случайной многомерной величины X. Ей соответствует область D в пространстве элементарных событий случайного вектора Y. При этом

Запишем эти вероятности

где |I| - якобиан перехода

Т.к. область S и соответственно D произвольны, то плотность вероятности случайного вектора x равна

n-мерная плотность вероятности случайного вектора Y равна

Преобразуем показатель степени e

Можно показать, что если нормальное распределение имеет данный вид, то B - ее ковариационная матрица

Следствие.

- многомерный нормальный вектор. A - прямоугольная матрица Тогда Y=AX имеет нормальное распределение вида

Y - m-мерный вектор.

Для определенности положим, что матрица A имеет вид

A = (A1 A2)

A1 - квадратная матрица размером

A2 - матрица размерности

Рассмотрим матрицу размерности . Считается, что m первых столбцов независимы.

равен определителю полученной квадратной матрицы и не равен нулю.

E - единственная квадратная матрица размерности

Следовательно, на основании доказанной теоремы, вектор Y имеет многомерное нормальное распределение.

Z=CX

Компоненты вектора Z имеют вид

Пусть матрица А произвольная, но т.к. ее ранг равен m она содержит m линейно независимых столбцов. Путем перестановки столбцом соберем эти столбцы в первые m. И соответствующим образом пронумеруем компоненты вектора Х. Попадаем в предыдущий случай.

Предельные случайные последовательности.

Рассмотрим вероятностное пространство в котором задана счетная последовательность случайных величин, каждая из которых является измеримой

Покажем, что событие измеримо, т.е. имеет вероятность наступления. Действительно событие

Каждое из этих событий в пересечении принадлежит - алгебре. По определению - алгебры ей принадлежит и счетное перечисление этих событий, таким образом событие имеет вероятность наступления.

Пусть последовательность имеет предел при , который может быть постоянной или случайной величиной. В теории вероятности этот предел понимают следующим образом: под сходимостью последовательности к пределу понимают событие А которое может задаваться следующим образом:

1.

Событие А состоит из всех m, удовлетворяющих условию: для любого как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется

2. А: Если предел ,то

Для любого, как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется

3.Если предел случайная величина, то

Показать самим, что событие А с - алгебре и следовательно имеет вероятность наступления

любое событие измеримо, как доказывалось ранее измеримы, и следовательно имеет вероятность наступления. Разность -алгебре. Следовательно событие А имеет вероятность наступления.