У = 240 , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда xn+1 и

85

капиталовложений xn+2, получили бы xn+1 = x3 = 1,12 · 240 + 0.72 · 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и xn+2 = xn = 4.9 · 240 + 4.4 · 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс.руб., что совпадает с исходными данными табл.3.

Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям

( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.

При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).

Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480 . Тогда

170

_ х1 1.8 0.8 1000

х = х2 = 1.1 1.6 480 = 800

х3 1.12 0.72 170 600

х4 4.9 4.4 3100

Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс.руб.

Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.

Задача

В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел.-ч.

Таблица

Нормы расхода

Обозначения Стоимость

I II III

Сырье I 1.4 2.4 0.8 a4 5

Сырье II – 0.6 1.6 a5 12

Сырье III 2.0 1.8 2.2 a6 2

Трудоемкость 10 20 20 а7 12

Определить:

а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;

б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха;

в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;

г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю производственную программу завода;

д) производственные затраты на единицу конечной продукции.

Решение:

а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т.е.

_ _ 235

а4х = ( 1.4; 2.4; 0.8 ) 186 = 1088

397

Аналогично можно получить расход сырья II и т.д.

Все это удобно записать в виде произведения:

1.4 2.4 0.8 235 1088 Сырье I

0 0.6 1.6 186 = 746 Сырье II

2.0 1.8 2.2 397 1678 Топливо

0.1 0.2 0.2 1409 Человеко-часов.

б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у1=1 ) найдем из выражения 1.4S11 + 2.4S21 + 0.8S31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы:

I II III

1.4 2.4 0.8 1.04 0.21 0.02 1.97 2.92 1.36 Сырье I

0 0.6 1.6 0.21 1.05 0.13 = 0.17 0.84 2.09 Сырье II

2.0 1.8 2.2 0.03 0.13 1.26 2.53 2.60 5.23 Топливо

10 20 20 15.2 24.8 28.0 Труд

Таким образом, например, для изготовления у1=1 необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел.-ч.

в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов:

I II III

Сырье I 330 440 318

Сырье II 0 111 635

Топливо 470 335 873

Труд 2350 3720 7940

г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1.2 ) на последнюю матрицу:

330 440 318

0 111 635 I II III

( 5; 12; 2; 1.2 ) 470 335 873 = ( 5410; 8666; 20484 )

2350 3720 7940

д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен:

1.97 2.92 1.36

0.17 0.84 2.09 I II III

( 5; 12; 2; 1.2 ) 2.53 2.60 5.23 = ( 35.3; 59.6; 75.7 )

15.2 24.8 28.0

Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35.3 руб., 59.6 руб., 75.7 руб.