an1 an2 … ank … ann

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения xik=aik=xk во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :

x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1

x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2 ( 6 )

……………………………………

xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn ,

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

_ _ _

Е·х - А·х = У , или окончательно

_ _

( Е - А )·х = У , ( 6' )

где Е – единичная матрица n-го порядка и

1-a11 -a12 … -a1n

E - A= -a21 1-a22 … -a2n

…………………

-an1 -an2 … 1-ann

Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных( xi и yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n- переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 , … , yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 , х2 , … хn ).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

табл.2

№ отрас Потребление Итого Конечный Валовый

№ затрат продукт выпуск

отрас 1 2

0.2 0.4

1 100 160 260 240 500

0.55 0.1

2 275 40 315 85 400

Итого затрат 575

в k-ю 375 200

отрасль … 575

Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

100 160 275 40

а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21 = –––– = 0.55 ; а22 = –––– = 0.1

500 400 500 400

Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.

Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2

х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1

х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2

Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.

РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).

Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением.

Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.

Так, например, если

0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение ( 6' )

А= , то Е - А =

0.6 0.9 -0.6 0.1

запишется в виде 0.1 -0.8 х1 у1 или в развернутой форме

-0.6 0.1 х2 у2

0.1х1 - 0.8х2 = у1 ( a )

-0.6х1 + 0.1х2 = у2

Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение

-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,

которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).

Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.

При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.

Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.

Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде

_ _

х = S·У ( 7 )

Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.

Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:

x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn

x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn ( 8 )

………………………………

xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn